龙格-库塔(Runge-Kutta)方法数学原理及实现
最后更新于：2022-04-01 16:06:40
## 龙格-库塔(Runge-Kutta)方法
龙格-库塔(Runge-Kutta)方法是一种在工程上应用广泛的高精度单步算法。由于此算法精度高，采取措施对误差进行抑制，所以其实现原理也较复杂。该算法是构建在数学支持的基础之上的。
对于一阶精度的欧拉公式有：
yi+1=yi+hki
其中h为步长，则yi+1的表达式与y(xi+1)的Taylor展开式的前两项完全相同，即**局部截断误差**为O(h2)。
当用点xi处的斜率近似值k1与右端点xi+1处的斜率k2的算术平均值作为平均斜率k∗的近似值，那么就会得到二阶精度的改进欧拉公式：
yi+1=yi+h(k1+k2)
其中k1=f(xi,yi) ， k2=f(xi+h,yi+hk1)
依次类推，如果在区间[xi,xi+1]内多预估几个店上的斜率值k1,k2,…,km，并用他们的加权平均数作为平均斜率k∗的近似值，显然能够构造出具有很高精度的高阶计数公式。
上述两组公式在形式删过的共同点：都是用f(x,y)在某些点上值得线性组合得出y(xi+1)的近似值yi+1，且增加计算的次数，可以提高截断误差的阶，他们的误差估计可以用f(x,y)在xi处的Taylor展开来估计。
于是可考虑用函数f(x,y)在若干点上的函数值的线性组合老构造金斯公式，构造时要求近似公式在f(xi,yi)处的Taylor展开式与解y(x)在xi处的Taylor展开式的前面几项重合，从而使金斯公式达到所需要的阶数。既避免求高阶导数，又提高了计算方法精度的阶数。或者说，在[xi,xi+1]这一步内计算多个点的斜率值，若够将其进行加权平均作为平均斜率，则可构造出更高精度的计算格式，这就是龙格-库塔(Runge-Kutta)方法。
一般的龙格-库塔法的形式为
称为P阶龙格-库塔方法。
其中ai,bij,cj为待定参数，要求上式yi+1在点(xi,yi)处作Taylor展开，通过相同项的系数确定参数。
当然，经典的龙格-库塔方法是四阶的。也就是在[xi,xi+1]上用四个点处的斜率加权平均作为平均斜率k∗的近似值，构成一系列四阶龙格-库塔公式。具有四阶精度，即局部截断误差是O(h5)。
下面介绍最常用的一种四阶龙格-库塔方法。
设
yi+1=yi+c1K1+c2K2+c3K3+c4K4
这里K1,K2,K3,K4为四个不同点上的函数值，分别设其为
其中c1,c2,c3,c4,a2,a3,a4,b21,b31,b32,b41,b42,b43均为待定系数。
把K2,K3,K4分别在xi点占城h的幂级数，带入线性组合式中，将得到的公式与y(xi+1)在xi点上的泰勒展开式比较，使其两式右端知道h4的系数相等，经过较复杂的解方程过程便可得到关于ai,bij,cj的一组特解。
a2=a3=b21=b32=12
b31=b41=b42=0
a4=b43=1
c1=c4=16
c2=c3=13
带入之后得到
龙格-库塔方法的推导基于Taylor展开方法，因而它要求所求的解具有较好的光滑性。如果解的光滑性差，那么，使用四阶龙格-库塔方法求得的数值解，其精度可能反而不如改进的欧拉方法。在实际计算时，应正对问题的具体特点选择适合的算法。对于光滑性不太好的解，最好采用**低阶算法**而将步长h取小。
龙格-库塔法的C语言实现
~~~
#include "stdio.h"
#include "stdlib.h"
void RKT(t,y,n,h,k,z)
int n; /*微分方程组中方程的个数，也是未知函数的个数*/
int k; /*积分的步数(包括起始点这一步)*/
double t; /*积分的起始点t0*/
double h; /*积分的步长*/
double y[]; /*存放n个未知函数在起始点t处的函数值,返回时,其初值在二维数组z的第零列中*/
double z[]; /*二维数组,体积为n x k.返回k个积分点上的n个未知函数值*/
{
extern void Func(); /*声明要求解的微分方程组*/
int i,j,l;
double a[4],*b,*d;
b=malloc(n*sizeof(double)); /*分配存储空间*/
if(b == NULL)
{
printf("内存分配失败\n");
exit(1);
}
d=malloc(n*sizeof(double)); /*分配存储空间*/
if(d == NULL)
{
printf("内存分配失败\n");
exit(1);
}
/*后面应用RK4公式中用到的系数*/
a[0]=h/2.0;
a[1]=h/2.0;
a[2]=h;
a[3]=h;
for(i=0; i<=n-1; i++)
z[i*k]=y[i]; /*将初值赋给数组z的相应位置*/
for(l=1; l<=k-1; l++)
{
Func(y,d);
for (i=0; i<=n-1; i++)
b[i]=y[i];
for (j=0; j<=2; j++)
{
for (i=0; i<=n-1; i++)
{
y[i]=z[i*k+l-1]+a[j]*d[i];
b[i]=b[i]+a[j+1]*d[i]/3.0;
}
Func(y,d);
}
for(i=0; i<=n-1; i++)
y[i]=b[i]+h*d[i]/6.0;
for(i=0; i<=n-1; i++)
z[i*k+l]=y[i];
t=t+h;
}
free(b); /*释放存储空间*/
free(d); /*释放存储空间*/
return;
}
main()
{
int i,j;
double t,h,y[3],z[3][11];
y[0]=-1.0;
y[1]=0.0;
y[2]=1.0;
t=0.0;
h=0.01;
RKT(t,y,3,h,11,z);
printf("\n");
for (i=0; i<=10; i++) /*打印输出结果*/
{
t=i*h;
printf("t=%5.2f\t ",t);
for (j=0; j<=2; j++)
printf("y(%d)=%e ",j,z[j][i]);
printf("\n");
}
}
void Func(y,d)
double y[],d[];
{
d[0]=y[1]; /*y0'=y1*/
d[1]=-y[0]; /*y1'=y0*/
d[2]=-y[2]; /*y2'=y2*/
return;
}
~~~
ps:如果有时间的话，可能会回过头来加一分解方程的推到吧…