第五讲 二维费用的背包问题

最后更新于:2022-04-02 01:25:24

## 问题 二维费用的背包问题是指:对于每件物品,具有两种不同的费用;选择这件物品必须同时付出这两种代价;对于每种代价都有一个可付出的最大值(背包容量)。问怎样选择物品可以得到最大的价值。设这两种代价分别为代价1和代价2,第i件物品所需的两种代价分别为a[i]和b[i]。两种代价可付出的最大值(两种背包容量)分别为V和U。物品的价值为w[i]。 ## 算法 费用加了一维,只需状态也加一维即可。设f[i][v][u]表示前i件物品付出两种代价分别为v和u时可获得的最大价值。状态转移方程就是: > `f[i][v][u]=max{f[i-1][v][u],f[i-1][v-a[i]][u-b[i]]+w[i]}` 如前述方法,可以只使用二维的数组:当每件物品只可以取一次时变量v和u采用逆序的循环,当物品有如完全背包问题时采用顺序的循环。当物品有如多重背包问题时拆分物品。这里就不再给出伪代码了,相信有了前面的基础,你能够自己实现出这个问题的程序。 ## 物品总个数的限制 有时,“二维费用”的条件是以这样一种隐含的方式给出的:最多只能取M件物品。这事实上相当于每件物品多了一种“件数”的费用,每个物品的件数费用均为1,可以付出的最大件数费用为M。换句话说,设f[v][m]表示付出费用v、最多选m件时可得到的最大价值,则根据物品的类型(01、完全、多重)用不同的方法循环更新,最后在f[0..V][0..M]范围内寻找答案。 ## 复数域上的背包问题 另一种看待二维背包问题的思路是:将它看待成复数域上的背包问题。也就是说,背包的容量以及每件物品的费用都是一个复数。而常见的一维背包问题则是实数域上的背包问题。(注意:上面的话其实不严谨,因为事实上我们处理的都只是整数而已。)所以说,一维背包的种种思想方法,往往可以应用于二位背包问题的求解中,因为只是数域扩大了而已。 作为这种思想的练习,你可以尝试将[P11](http://love-oriented.com/pack/P11.html)中提到的“子集和问题”扩展到复数域(即二维),并试图用同样的复杂度解决。 ## 小结 当发现由熟悉的动态规划题目变形得来的题目时,在原来的状态中加一纬以满足新的限制是一种比较通用的方法。希望你能从本讲中初步体会到这种方法。 [首页](http://love-oriented.com/pack/Index.html) * * * Copyright (c) 2007 Tianyi Cui Permission is granted to copy, distribute and/or modify this document under the terms of the [GNU Free Documentation License](http://www.gnu.org/licenses/fdl.txt), Version 1.2 or any later version published by the Free Software Foundation.
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