最后，我们来证明，为什么用私钥解密，一定可以正确地得到m。也就是证明下面这个式子： > 　　cd ≡ m (mod n) 因为，根据加密规则 > 　　ｍe ≡ c (mod n) 于是，c可以写成下面的形式： > 　　c = me - kn 将c代入要我们要证明的那个解密规则： > 　　(me - kn)d ≡ m (mod n) 它等同于求证 > 　　med ≡ m (mod n) 由于 > 　　ed ≡ 1 (mod φ(n)) 所以 > 　　ed = hφ(n)+1 将ed代入： > 　　mhφ(n)+1 ≡ m (mod n) 接下来，分成两种情况证明上面这个式子。 （1）m与n互质。 根据欧拉定理，此时 > 　　mφ(n) ≡ 1 (mod n) 得到 > 　　(mφ(n))h × m ≡ m (mod n) 原式得到证明。 （2）m与n不是互质关系。 此时，由于n等于质数p和q的乘积，所以m必然等于kp或kq。 以 m = kp为例，考虑到这时k与q必然互质，则根据欧拉定理，下面的式子成立： > 　　(kp)q-1 ≡ 1 (mod q) 进一步得到 > 　　[(kp)q-1]h(p-1) × kp ≡ kp (mod q) 即 > 　　(kp)ed ≡ kp (mod q) 将它改写成下面的等式 > 　　(kp)ed = tq + kp 这时t必然能被p整除，即 t=t'p > 　　(kp)ed = t'pq + kp 因为 m=kp，n=pq，所以 > 　　med ≡ m (mod n) 原式得到证明。 （完）

有了公钥和密钥，就能进行加密和解密了。 （1）加密要用公钥 (n,e) 假设鲍勃要向爱丽丝发送加密信息m，他就要用爱丽丝的公钥 (n,e) 对m进行加密。这里需要注意，m必须是整数（字符串可以取ascii值或unicode值），且m必须小于n。 所谓"加密"，就是算出下式的c： > 　　me ≡ c (mod n) 爱丽丝的公钥是 (3233, 17)，鲍勃的m假设是65，那么可以算出下面的等式： > 　　6517 ≡ 2790 (mod 3233) 于是，c等于2790，鲍勃就把2790发给了爱丽丝。 （2）解密要用私钥(n,d) 爱丽丝拿到鲍勃发来的2790以后，就用自己的私钥(3233, 2753) 进行解密。可以证明，下面的等式一定成立： > 　　cd ≡ m (mod n) 也就是说，c的d次方除以n的余数为m。现在，c等于2790，私钥是(3233, 2753)，那么，爱丽丝算出 > 　　27902753 ≡ 65 (mod 3233) 因此，爱丽丝知道了鲍勃加密前的原文就是65。 至此，"加密--解密"的整个过程全部完成。 我们可以看到，如果不知道d，就没有办法从c求出m。而前面已经说过，要知道d就必须分解n，这是极难做到的，所以RSA算法保证了通信安全。 你可能会问，公钥(n,e) 只能加密小于n的整数m，那么如果要加密大于n的整数，该怎么办？有两种解决方法：一种是把长信息分割成若干段短消息，每段分别加密；另一种是先选择一种"对称性加密算法"（比如[DES](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%B5%84%E6%96%99%E5%8A%A0%E5%AF%86%E6%A0%87%E5%87%86)），用这种算法的密钥加密信息，再用RSA公钥加密DES密钥。

回顾上面的密钥生成步骤，一共出现六个数字： > 　　p > 　　q > 　　n > 　　φ(n) > 　　e > 　　d 这六个数字之中，公钥用到了两个（n和e），其余四个数字都是不公开的。其中最关键的是d，因为n和d组成了私钥，一旦d泄漏，就等于私钥泄漏。 那么，有无可能在已知n和e的情况下，推导出d？ > 　　（1）ed≡1 (mod φ(n))。只有知道e和φ(n)，才能算出d。 > > 　　（2）φ(n)=(p-1)(q-1)。只有知道p和q，才能算出φ(n)。 > > 　　（3）n=pq。只有将n因数分解，才能算出p和q。 结论：如果n可以被因数分解，d就可以算出，也就意味着私钥被破解。 可是，大整数的因数分解，是一件非常困难的事情。目前，除了暴力破解，还没有发现别的有效方法。维基百科这样写道： > 　　"对极大整数做因数分解的难度决定了RSA算法的可靠性。换言之，对一极大整数做因数分解愈困难，RSA算法愈可靠。 > > 　　假如有人找到一种快速因数分解的算法，那么RSA的可靠性就会极度下降。但找到这样的算法的可能性是非常小的。今天只有短的RSA密钥才可能被暴力破解。到2008年为止，世界上还没有任何可靠的攻击RSA算法的方式。 > > 　　只要密钥长度足够长，用RSA加密的信息实际上是不能被解破的。" 举例来说，你可以对3233进行因数分解（61×53），但是你没法对下面这个整数进行因数分解。 > 　　12301866845301177551304949 > 　　58384962720772853569595334 > 　　79219732245215172640050726 > 　　36575187452021997864693899 > 　　56474942774063845925192557 > 　　32630345373154826850791702 > 　　61221429134616704292143116 > 　　02221240479274737794080665 > 　　351419597459856902143413 它等于这样两个质数的乘积： > 　　33478071698956898786044169 > 　　84821269081770479498371376 > 　　85689124313889828837938780 > 　　02287614711652531743087737 > 　　814467999489 > 　　　　× > 　　36746043666799590428244633 > 　　79962795263227915816434308 > 　　76426760322838157396665112 > 　　79233373417143396810270092 > 　　798736308917 事实上，这大概是人类已经分解的最大整数（232个十进制位，768个二进制位）。比它更大的因数分解，还没有被报道过，因此目前被破解的最长RSA密钥就是768位。

前面我介绍了一些数论知识。 有了这些知识，我们就可以看懂RSA算法。这是目前地球上最重要的加密算法。 我们通过一个例子，来理解RSA算法。假设[爱丽丝](http://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%88%B1%E4%B8%BD%E4%B8%9D%E4%B8%8E%E9%B2%8D%E4%BC%AF)要与鲍勃进行加密通信，她该怎么生成公钥和私钥呢？  第一步，随机选择两个不相等的质数p和q。 爱丽丝选择了61和53。（实际应用中，这两个质数越大，就越难破解。） 第二步，计算p和q的乘积n。 爱丽丝就把61和53相乘。 > 　　n = 61×53 = 3233 n的长度就是密钥长度。3233写成二进制是110010100001，一共有12位，所以这个密钥就是12位。实际应用中，RSA密钥一般是1024位，重要场合则为2048位。 第三步，计算n的欧拉函数φ(n)。 根据公式： > 　　φ(n) = (p-1)(q-1) 爱丽丝算出φ(3233)等于60×52，即3120。 第四步，随机选择一个整数e，条件是1 爱丽丝就在1到3120之间，随机选择了17。（实际应用中，常常选择65537。） 第五步，计算e对于φ(n)的模反元素d。 所谓["模反元素"](http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%A8%A1%E5%8F%8D%E5%85%83%E7%B4%A0)就是指有一个整数d，可以使得ed被φ(n)除的余数为1。 > 　　ed ≡ 1 (mod φ(n)) 这个式子等价于 > 　　ed - 1 = kφ(n) 于是，找到模反元素d，实质上就是对下面这个二元一次方程求解。 > 　　ex + φ(n)y = 1 已知 e=17, φ(n)=3120， > 　　17x + 3120y = 1 这个方程可以用["扩展欧几里得算法"](http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%89%A9%E5%B1%95%E6%AC%A7%E5%87%A0%E9%87%8C%E5%BE%97%E7%AE%97%E6%B3%95)求解，此处省略具体过程。总之，爱丽丝算出一组整数解为 (x,y)=(2753,-15)，即 d=2753。 至此所有计算完成。 第六步，将n和e封装成公钥，n和d封装成私钥。 在爱丽丝的例子中，n=3233，e=17，d=2753，所以公钥就是 (3233,17)，私钥就是（3233, 2753）。 实际应用中，公钥和私钥的数据都采用[ASN.1](http://zh.wikipedia.org/zh-cn/ASN.1)格式表达（[实例](http://hi.baidu.com/mathack/item/d0ad4cc1514a3663f7c95da2)）。

还剩下最后一个概念： > 如果两个正整数a和n互质，那么一定可以找到整数b，使得 ab-1 被n整除，或者说ab被n除的余数是1。 > >  > > 这时，b就叫做a的["模反元素"](http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%A8%A1%E5%8F%8D%E5%85%83%E7%B4%A0)。 比如，3和11互质，那么3的模反元素就是4，因为 (3 × 4)-1 可以被11整除。显然，模反元素不止一个， 4加减11的整数倍都是3的模反元素 {...,-18,-7,4,15,26,...}，即如果b是a的模反元素，则 b+kn 都是a的模反元素。 欧拉定理可以用来证明模反元素必然存在。  可以看到，a的 φ(n)-1 次方，就是a的模反元素。 ========================================== 好了，需要用到的数学工具，全部介绍完了。RSA算法涉及的数学知识，就是上面这些，下一次我就来介绍公钥和私钥到底是怎么生成的。

欧拉函数的用处，在于[欧拉定理]。"欧拉定理"指的是： > 如果两个正整数a和n互质，则n的欧拉函数 φ(n) 可以让下面的等式成立： > >  也就是说，a的φ(n)次方被n除的余数为1。或者说，a的φ(n)次方减去1，可以被n整除。比如，3和7互质，而7的欧拉函数φ(7)等于6，所以3的6次方（729）减去1，可以被7整除（728/7=104）。 欧拉定理的证明比较复杂，这里就省略了。我们只要记住它的结论就行了。 欧拉定理可以大大简化某些运算。比如，7和10互质，根据欧拉定理，  已知 φ(10) 等于4，所以马上得到7的4倍数次方的个位数肯定是1。  因此，7的任意次方的个位数（例如7的222次方），心算就可以算出来。 欧拉定理有一个特殊情况。 > 假设正整数a与质数p互质，因为质数p的φ(p)等于p-1，则欧拉定理可以写成 > >  这就是著名的[费马小定理](http://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%B4%B9%E9%A9%AC%E5%B0%8F%E5%AE%9A%E7%90%86)。它是欧拉定理的特例。 欧拉定理是RSA算法的核心。理解了这个定理，就可以理解RSA。

请思考以下问题： > 　　任意给定正整数n，请问在小于等于n的正整数之中，有多少个与n构成互质关系？（比如，在1到8之中，有多少个数与8构成互质关系？） 计算这个值的方法就叫做[欧拉函数](http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%AC%A7%E6%8B%89%E5%87%BD%E6%95%B0)，以φ(n)表示。在1到8之中，与8形成互质关系的是1、3、5、7，所以 φ(n) = 4。 φ(n) 的计算方法并不复杂，但是为了得到最后那个公式，需要一步步讨论。 第一种情况 如果n=1，则 φ(1) = 1 。因为1与任何数（包括自身）都构成互质关系。 第二种情况 如果n是质数，则 φ(n)=n-1 。因为质数与小于它的每一个数，都构成互质关系。比如5与1、2、3、4都构成互质关系。 第三种情况 如果n是质数的某一个次方，即 n = p^k (p为质数，k为大于等于1的整数)，则  比如 φ(8) = φ(2^3) =2^3 - 2^2 = 8 -4 = 4。 这是因为只有当一个数不包含质数p，才可能与n互质。而包含质数p的数一共有p^(k-1)个，即1×p、2×p、3×p、...、p^(k-1)×p，把它们去除，剩下的就是与n互质的数。 上面的式子还可以写成下面的形式：  可以看出，上面的第二种情况是 k=1 时的特例。 第四种情况 如果n可以分解成两个互质的整数之积， > 　　n = p1 × p2 则 > 　　φ(n) = φ(p1p2) = φ(p1)φ(p2) 即积的欧拉函数等于各个因子的欧拉函数之积。比如，φ(56)=φ(8×7)=φ(8)×φ(7)=4×6=24。 这一条的证明要用到["中国剩余定理"](http://en.wikipedia.org/wiki/Chinese_remainder_theorem)，这里就不展开了，只简单说一下思路：如果a与p1互质(a ';

如果两个正整数，除了1以外，没有其他公因子，我们就称这两个数是[互质关系](http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E4%BA%92%E7%B4%A0)（coprime）。比如，15和32没有公因子，所以它们是互质关系。这说明，不是质数也可以构成互质关系。 关于互质关系，不难得到以下结论： > 　　1\. 任意两个质数构成互质关系，比如13和61。 > > 　　2\. 一个数是质数，另一个数只要不是前者的倍数，两者就构成互质关系，比如3和10。 > > 　　3\. 如果两个数之中，较大的那个数是质数，则两者构成互质关系，比如97和57。 > > 　　4\. 1和任意一个自然数是都是互质关系，比如1和99。 > > 　　5\. p是大于1的整数，则p和p-1构成互质关系，比如57和56。 > > 　　6\. p是大于1的奇数，则p和p-2构成互质关系，比如17和15。

1976年以前，所有的加密方法都是同一种模式： > 　　（1）甲方选择某一种加密规则，对信息进行加密； > > 　　（2）乙方使用同一种规则，对信息进行解密。 由于加密和解密使用同样规则（简称"密钥"），这被称为["对称加密算法"](http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E5%AF%B9%E7%AD%89%E5%8A%A0%E5%AF%86)（Symmetric-key algorithm）。 这种加密模式有一个最大弱点：甲方必须把加密规则告诉乙方，否则无法解密。保存和传递密钥，就成了最头疼的问题。  1976年，两位美国计算机学家Whitfield Diffie 和 Martin Hellman，提出了一种崭新构思，可以在不直接传递密钥的情况下，完成解密。这被称为["Diffie-Hellman密钥交换算法"](http://en.wikipedia.org/wiki/Diffie%E2%80%93Hellman_key_exchange)。这个算法启发了其他科学家。人们认识到，加密和解密可以使用不同的规则，只要这两种规则之间存在某种对应关系即可，这样就避免了直接传递密钥。 这种新的加密模式被称为"非对称加密算法"。 > 　　（1）乙方生成两把密钥（公钥和私钥）。公钥是公开的，任何人都可以获得，私钥则是保密的。 > > 　　（2）甲方获取乙方的公钥，然后用它对信息加密。 > > 　　（3）乙方得到加密后的信息，用私钥解密。 如果公钥加密的信息只有私钥解得开，那么只要私钥不泄漏，通信就是安全的。  1977年，三位数学家Rivest、Shamir 和 Adleman 设计了一种算法，可以实现非对称加密。这种算法用他们三个人的名字命名，叫做[RSA算法](http://zh.wikipedia.org/zh-cn/RSA%E5%8A%A0%E5%AF%86%E7%AE%97%E6%B3%95)。从那时直到现在，RSA算法一直是最广为使用的"非对称加密算法"。毫不夸张地说，只要有计算机网络的地方，就有RSA算法。 这种算法非常[可靠](http://en.wikipedia.org/wiki/RSA_Factoring_Challenge)，密钥越长，它就越难破解。根据已经披露的文献，目前被破解的最长RSA密钥是768个二进制位。也就是说，长度超过768位的密钥，还无法破解（至少没人公开宣布）。因此可以认为，1024位的RSA密钥基本安全，2048位的密钥极其安全。 下面，我就进入正题，解释RSA算法的原理。文章共分成两部分，今天是第一部分，介绍要用到的四个数学概念。你可以看到，RSA算法并不难，只需要一点[数论知识](http://jeremykun.com/2011/07/30/number-theory-a-primer/)就可以理解。

> 原文出处：http://www.ruanyifeng.com/blog/ > 作者：阮一峰 如果你问我，哪一种[算法](http://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%AE%97%E6%B3%95)最重要？ 我可能会回答["公钥加密算法"](http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%85%AC%E9%92%A5%E5%AF%86%E7%A0%81%E5%AD%A6)。  因为它是计算机通信安全的基石，保证了加密数据不会被破解。你可以想象一下，信用卡交易被破解的后果。 进入正题之前，我先简单介绍一下，什么是"公钥加密算法"。