3、二叉树
最后更新于:2022-04-02 06:11:19
树是一种非线性表数据结构,树的基本概念如下所列。
(1)结点高度:结点到叶子结点的最长路径(即边数)。例题:[112\. 路径总和](https://leetcode-cn.com/problems/path-sum/)。
(2)结点深度:根结点到这个结点所经历的边的个数。例题:[104\. 二叉树的最大深度](https://leetcode-cn.com/problems/maximum-depth-of-binary-tree/)。
(3)结点层数:结点深度加 1。
(4)树的高度:根结点的高度。例题:[面试题 04.02. 最小高度树](https://leetcode-cn.com/problems/minimum-height-tree-lcci/)。
后面几张这种类型的图都来源于《[数据结构与算法之美](https://time.geekbang.org/column/126)》。
:-: ![](https://docs.gechiui.com/gc-content/uploads/sites/kancloud/50/f8/50f89510ad1f7570791dd12f4e9adeb4_1142x570.jpg =600x)
图 2
(5)二叉树:只包含左右两个子结点的树(编号1)。
(6)满二叉树:所有分支结点都存在左右子树,并且所有叶子结点都在同一层上(编号2)。例题:[894\. 所有可能的满二叉树](https://leetcode-cn.com/problems/all-possible-full-binary-trees/)。
(7)完全二叉树:叶子结点都在最底下两层,最后一层的叶子结点都靠左排列,并且除了最后一层,其余结点个数都要达到最大(编号3)。例题:[222\. 完全二叉树的结点个数](https://leetcode-cn.com/problems/count-complete-tree-nodes/)。
:-: ![](https://docs.gechiui.com/gc-content/uploads/sites/kancloud/09/c2/09c2972d56eb0cf67e727deda0e9412b_1142x635.jpg =600x)
图 3
## 一、二叉树
**1)实现**
有两种方法存储一棵二叉树,第一种是基于指针的链式存储法,[如下所示](https://codepen.io/strick/pen/LYGMrVO)。
~~~
class Node {
constructor(data) {
this.data = data;
this.left = null;
this.right = null;
}
}
class TreeList {
constructor(datas) {
this.root = null;
datas.forEach((value) => {
const node = new Node(value);
if (this.root == null) {
this.root = node;
return;
}
this.insert(this.root, node);
});
}
insert(parent, child) {
if (parent.data > child.data) {
parent.left === null
? (parent.left = child)
: this.insert(parent.left, child);
return;
}
parent.right === null
? (parent.right = child)
: this.insert(parent.right, child);
}
}
~~~
第二种是基于数组的顺序存储法。
~~~
left = 2 * index + 1; //左结点下标
right = 2 * index + 2; //右结点下标
~~~
例题:LeetCode的[236\. 二叉树的最近公共祖先](https://leetcode-cn.com/problems/lowest-common-ancestor-of-a-binary-tree/),递归的在左右子树中查找两个指定的结点,最后判断公共祖先所在的位置。在当前结点的左子树,或在其右子树,又或者它就是两种的公共祖先。
**2)遍历**
二叉树的遍历有四种([示例如下](https://codepen.io/strick/pen/mdVaKVz)):
(1)前序:先访问当前结点,然后访问左子树,再访问右子树。
~~~
preOrder(root = this.root) {
//前序
if (!root) {
return;
}
console.log(root.data);
this.preOrder(root.left);
this.preOrder(root.right);
}
~~~
:-: ![](https://docs.gechiui.com/gc-content/uploads/sites/kancloud/7d/99/7d995a99dadab9fa481a5e17cd4cc8d0_555x419.png =400x)
图 4
面试题28[对称二叉树](https://leetcode-cn.com/problems/dui-cheng-de-er-cha-shu-lcof/)。前序遍历的变种是先访问右结点,再访问左结点,如果其遍历结果与前序遍历结果相同,就说明是对称的。
面试题34[二叉树中和为某一值的路径](https://leetcode-cn.com/problems/er-cha-shu-zhong-he-wei-mou-yi-zhi-de-lu-jing-lcof/)。前序遍历首先访问根结点,在用前序遍历访问结点时,将其压入栈中,遇到叶结点,就求和判断结果是否符合要求。然后将叶结点出栈,回到父节点,继续遍历右子树,递归执行该过程。
(2)中序:先访问左子树,然后访问当前结点,再访问右子树。
~~~
inOrder(root = this.root) {
//中序
if (!root) {
return;
}
this.midOrder(root.left);
console.log(root.data);
this.midOrder(root.right);
}
~~~
:-: ![](https://docs.gechiui.com/gc-content/uploads/sites/kancloud/f7/d5/f7d50d862a6b1902fd7b20b48c6562b7_650x410.png =400x)
图 5
面试题7[重建二叉树](https://leetcode-cn.com/problems/zhong-jian-er-cha-shu-lcof/)。前序遍历第一个数是根结点,中序遍历以根结点为界其两边分别是左右子树,递归构建左右子树。
面试题54[BST中第 k 大的结点](https://leetcode-cn.com/problems/er-cha-sou-suo-shu-de-di-kda-jie-dian-lcof/)。中序遍历BST,得到的序列是递增的。
(3)后序:先访问左子树,然后访问右子树,再访问当前结点。
~~~
postOrder(root = this.root) {
//后序
if (!root) {
return;
}
this.backOrder(root.left);
this.backOrder(root.right);
console.log(root.data);
}
~~~
:-: ![](https://docs.gechiui.com/gc-content/uploads/sites/kancloud/62/5d/625d7bbb11620dc27b10276f46e49ff3_546x346.png =400x)
图 6
面试题33[BST的后序遍历序列](https://leetcode-cn.com/problems/er-cha-sou-suo-shu-de-hou-xu-bian-li-xu-lie-lcof/)。序列的最后一个数字是根结点,左子树的结点都比根结点小,右子树的结点都比根结点大,递归执行该过程。
(4)层序:自上而下,自左至右逐层访问树的结点。利用一个辅助队列来完成层序遍历。
~~~
levelOrder(node = this.root) {
//层序
let queue = [];
queue.push(node); // 根结点入队
while (queue.length) {
node = queue.shift(); // 出队
console.log(node.data); // 访问该结点
if (node.left) {
// 如果它的左子树不为空
queue.push(node.left); // 将左子树的根结点入队
}
if (node.right) {
// 如果它的右子树不为空
queue.push(node.right); // 将右子树的根结点入队
}
}
}
~~~
除了层序遍历之外,其余三种都采用递归的方式来遍历二叉树。
有两种图的搜索算法,也适用于树。
(1)广度优先搜索算法(Breadth-First Search,BFS)会从根结点开始遍历,先访问其所有的相邻点,就像一次访问树的一层,也就是先宽后深地访问结点,之前的层序遍历就是BFS,如下图左半部分。
(2)深度优先搜索算法(Depth-First-Search,DFS)会从根结点开始遍历,沿着路径直到这条路径最后一个叶结点被访问,接着原路回退并探索下一条路径,也就是先深度后广度地访问结点,如下图右半部分。
:-: ![](https://docs.gechiui.com/gc-content/uploads/sites/kancloud/0f/84/0f8439a00e30ab283ccb34d90aa329e9_962x330.png =700x)
在《[算法小抄](https://labuladong.gitbook.io/algo/di-ling-zhang-bi-du-xi-lie/xue-xi-shu-ju-jie-gou-he-suan-fa-de-gao-xiao-fang-fa#san-suan-fa-shua-ti-zhi-nan)》一文中曾强调先刷二叉树的LeetCode题目,因为很多难题本质上都是基于二叉树的遍历,例如LeetCode的[124 题](https://leetcode-cn.com/problems/binary-tree-maximum-path-sum/)(二叉树中的最大路径和)、[105 题](https://leetcode-cn.com/problems/construct-binary-tree-from-preorder-and-inorder-traversal/)(从前序与中序遍历序列构造二叉树)和[99 题](https://leetcode-cn.com/problems/recover-binary-search-tree/)(恢复二叉搜索树)。
**3)递归**
递归是一种应用广泛的编程技巧,如果要使用递归,需要满足三个条件。
(1)一个问题的解可以分解为几个子问题的解。
(2)这个问题与分解之后的子问题,除了数据规模不同,求解思路完全一样。
(3)存在递归终止条件,即基线条件(Base Case)。
注意,递归的关键就是找到将大问题分解为小问题的规律(推荐画出递归树),基于此写出递推公式,然后再推敲终止条件,并且需要警惕重复计算。下面是一个递归的大致模板。
~~~
function recursion(level, param1, param2, ...) {
//递归的终止条件
if(level > MAX_LEVEL) {
console.log("result");
return;
}
//数据处理
processData(level, data1,...);
//继续递归
recursion(level + 1, p1, ...);
//收尾工作
reverseState(level);
}
~~~
递归的数学模型就是[归纳法](https://baike.baidu.com/item/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%BD%92%E7%BA%B3%E6%B3%95),其过程如下。
(1)基础情况:证明 P(b)语句成立,该步骤只需带入数字即可。
(2)声明假设:假设 P(n)语句成立。
(3)归纳步骤:证明如果 P(n)语句成立,那么 P(n+1) 语句也一定成立。
例如设计一程序,求自然数 N 的阶乘 N!。
(1)当 N=1 时,N!=1。
(2)假设 P(N)=N!,P(N+1)=(N+1)!。
(3)证明 P(N) 和 P(N+1) 的关系:
~~~
P(N+1) = (N+1)! = (N+1)×(N)×…×2×1 = (N+1)×N! = (N+1)×P(N)
~~~
根据这个公式可构造一个递归函数:
~~~
function factorial(N) {
return N * factorial(N - 1); //递归部分
}
~~~
在采用数学归纳法设计递归程序后,就能摆脱每一步的递推,直接根据分析就能转化为代码。
试图想清楚整个递和归过程的做法,实际上是一种思维误区,不符合人脑平铺直叙的思维方式。
## 二、二叉查找树
在二叉查找树(Binary Search Tree,BST)中,每个结点的值都大于左子结点,小于右子结点。当中序遍历BST时,就可在 O(n) 的时间复杂度内输出有序的结点。
BST的时间复杂度和树的高度成正比,即 O(height),经过推导后,完全二叉树的高度(height)小于等于 log2^n。
平衡二叉查找树的高度接近 logn,所以插入、删除、查找等操作的时间复杂度也比较稳定,都是 O(logn)。
**1)操作**
在BST中查找一个结点的递归算法是([代码如下所示](https://codepen.io/strick/pen/JjGwZeZ)):
(1)如果被查找的结点和根结点的值相等,则查找命中,否则就递归地的在适当的子树中继续查找。
(2)如果被查找的结点值较小就选择左子树,否则就选择右子树。
~~~
find(data) {
//查找
let node = this.root;
while (node != null) {
if (data == node.data) {
return node;
}
data < node.data ? (node = node.left) : (node = node.right);
}
return null;
}
~~~
BST插入结点的过程和查找差不多,依次比较结点值和左右子树的大小。
~~~
insert(parent, child) {
//插入
if (parent.data > child.data) {
parent.left === null
? (parent.left = child)
: this.insert(parent.left, child);
return;
}
parent.right === null
? (parent.right = child)
: this.insert(parent.right, child);
}
~~~
在BST中查找最大和最小的结点,以最小值为例,如果根结点的左链接为空,那么一棵BST中的最小值就是根结点;如果左链接非空,那么最小值就是左子树中的最小值。
~~~
min(node = this.root) {
//最小值
if (node.left == null) return node;
return this.min(node.left);
}
~~~
**2)删除**
针对删除结点的子结点个数的不同,需要分类讨论([代码如下所示](https://codepen.io/strick/pen/oNbJMoK)):
(1)如果没有子结点,那么只需将父结点中,链接删除结点的指针置为 null。
(2)如果只有一个子结点,那么只需更新父结点中,链接删除结点的指针指向其子结点即可。
(3)如果包含两个子结点,那么需要先找到该结点右子树中的最小结点,替换要删除的结点;然后再删除该最小结点,由于最小结点肯定没有左子结点,因此可以使用上面两条规则删除它。
:-: ![](https://docs.gechiui.com/gc-content/uploads/sites/kancloud/29/9c/299c615bc2e00dc32225f4d9e3490e2c_1142x620.jpg =600x)
图 7
~~~
del(data) {
//删除
let p = this.root, //p指向要删除的结点,初始化指向根结点
parent = null; //父结点
while (p != null && p.data != data) {
parent = p;
data > p.data ? (p = p.right) : (p = p.left);
}
if (p == null) return; //没有找到
// 要删除的结点有两个子结点
if (p.left != null && p.right != null) {
//查找右子树中最小结点
let minP = p.right,
minParent = p; //minParent表示minP的父结点
while (minP.left != null) {
minParent = minP;
minP = minP.left;
}
p.data = minP.data; //将minP的数据替换到p中
p = minP; //下面就变成了删除minP了
parent = minParent;
}
// 删除结点是叶子结点或者仅有一个子结点
let child; //p的子结点
if (p.left != null) child = p.left;
else if (p.right != null) child = p.right;
else child = null;
if (parent == null) this.root = child;
// 删除的是根结点
else if (parent.left == p) parent.left = child;
else parent.right = child;
}
~~~
**3)数据重复**
要让BST支持重复数据,可以有两种处理方式。
(1)在每个结点中增加一个链表,把相同的值存储到链表中。
(2)将相同的值插入到结点的右子树中,作为大于这个结点来处理。
**4)平衡二叉查找树**
平衡二叉树是指任意一个结点的左右子树的高度相差不能大于 1,让整棵树左右看起来比较对称和平衡,不要出现左子树很高、右子树很矮的情况。
在下面的[示例](https://codepen.io/strick/pen/eYJbLmo)中,height()函数会自顶向下递归的计算结点的高度,isBalanced()函数会判断左右子树的高度差。
~~~
function isBalanced(root) {
if (root == null) return true;
if (Math.abs(height(root.left) - height(root.right)) > 1) {
return false;
}
return isBalanced(root.left) && isBalanced(root.right);
}
function height(root) {
if (root == null) return 0;
return Math.max(height(root.left) + 1, height(root.right) + 1);
}
~~~
## 三、堆
堆(heap)是一种特殊的树形数据结构,它有两个特性:
(1)必须是一棵完全二叉树。
(2)结点的值要大于等于或小于等于两个子结点的值。
当结点的值小于等于两个子结点的值,称之为小顶堆;当结点的值大于等于两个子结点的值,称之为大顶堆。
**1)实现**
往堆中插入一个元素后,需要继续满足堆的两个特性,这个过程叫做堆化(heapify),下面的[示例](https://codepen.io/strick/pen/bGEOxLm)在构建一个大顶堆。
~~~
function heapify(arr, x, len) {
let l = 2 * x + 1, //左结点
r = 2 * x + 2, //右结点
largest = x,
temp;
if (l < len && arr[l] > arr[largest]) {
largest = l;
}
if (r < len && arr[r] > arr[largest]) {
largest = r;
}
if (largest != x) { //交换位置
temp = arr[x];
arr[x] = arr[largest];
arr[largest] = temp;
heapify(arr, largest, len);
}
}
const tree = [4, 5, 1, 2, 3, 6],
heapSize = tree.length;
for (let i = Math.floor(heapSize / 2) - 1; i >= 0; i--) {
heapify(tree, i, heapSize);
}
~~~
**2)堆排序**
堆排序是一种原地的、时间复杂度为 O(nlogn) 的不稳定排序算法。排序主要分为两个过程:一是构建堆;二是交换堆顶元素与最后一个元素的位置,[如下所示](https://codepen.io/strick/pen/pogqOMo)。
~~~
function heapSort(arr) {
let heapSize = arr.length,
temp;
//建堆
for (let i = Math.floor(heapSize / 2) - 1; i >= 0; i--) {
heapify(arr, i, heapSize);
}
//堆排序
for (let j = heapSize - 1; j >= 1; j--) {
temp = arr[0];
arr[0] = arr[j];
arr[j] = temp;
heapify(arr, 0, --heapSize);
}
return arr;
}
~~~
**3)应用**
堆有几个非常重要的应用,例如优先级队列、求Top K和求中位数。例题:[703\. 数据流中的第K大元素](https://leetcode-cn.com/problems/kth-largest-element-in-a-stream/),[剑指 Offer 41. 数据流中的中位数](https://leetcode-cn.com/problems/shu-ju-liu-zhong-de-zhong-wei-shu-lcof/)。
其中求中位数的方法很巧妙,会维护两个堆:大顶堆和小顶堆。大顶堆中存储前半部分数据,小顶堆中存储后半部分数据,且小顶堆中的数据都大于大顶堆中的数据。如果有 n 个数据:
(1)当 n 是偶数时,前 2/n 个数据存储在大顶堆中,后 2/n 个数据存储在小顶堆中。
(2)当 n 是奇数时,大顶堆就存储 2/n+1 个数据,小顶堆中就存储 2n 个数据。
这样,大顶堆中的堆顶元素就是要找的中位数。
*****
> 原文出处:
[博客园-数据结构和算法躬行记](https://www.cnblogs.com/strick/category/1809992.html)
已建立一个微信前端交流群,如要进群,请先加微信号freedom20180706或扫描下面的二维码,请求中需注明“看云加群”,在通过请求后就会把你拉进来。还搜集整理了一套[面试资料](https://github.com/pwstrick/daily),欢迎阅读。
![](https://docs.gechiui.com/gc-content/uploads/sites/kancloud/2e1f8ecf9512ecdd2fcaae8250e7d48a_430x430.jpg =200x200)
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