14. 浮点数算法：争议和限制

浮点数在计算机中表达为二进制（binary）小数。例如：十进制小数: 0.125 是 1/10 + 2/100 + 5/1000 的值，同样二进制小数: 0.001 是 0/2 + 0/4 + 1/8。这两个数值相同。唯一的实质区别是第一个写为十进制小数记法，第二个是二进制。 遗憾的是，大多数十进制小数不能精确的表达二进制小数。 这个问题更早的时候首先在十进制中发现。考虑小数形式的 1/3 ，你可以来个十进制的近似值。 0.3 或者更进一步的, 0.33 或者更进一步的, 0.333 诸如此类。如果你写多少位，这个结果永远不是精确的 1/3 ，但是可以无限接近 1/3 。 同样，无论在二进制中写多少位，十进制数 0.1 都不能精确表达为二进制小数。二进制来表达 1/10 是一个无限循环小数: 0.0001100110011001100110011001100110011001100110011... 在任意无限位数值中中止，你可以得到一个近似。 在一个典型的机器上运行 Python，一共有53位的精度来表示一个浮点数，所以当你输入十进制的0.1 的时候，看到是一个二进制的小数: 0.00011001100110011001100110011001100110011001100110011010 非常接近，但是不完全等于，1/10。 这是很容易忘记，存储的值是一个近似的原小数，由于浮体的方式，显示在提示符的解释。Python 中只打印一个小数近似的真实机器所存储的二进制近似的十进制值。如果 Python 要打印存储的二进制近似真实的十进制值 0.1，那就要显示: ~~~ >>> 0.1 0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625 ~~~ 这么多位的数字对大多数人是没有用的，所以 Python 显示一个舍入的值 ~~~ >>> 1 / 10 0.1 ~~~ 只要记住即使打印的结果看上去是精确的 1/10，真正存储的值是最近似的二进制小数。 有趣地是，存在许多不同的十进制数共享着相同的近似二进制小数。例如，数字 0.1 和0.10000000000000001 以及 0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625 都是3602879701896397 / 2 ** 55 的近似值。因为所有这些十进制数共享相同的近似值，在保持恒等式eval(repr(x)) == x 的同时，显示的可能是它们中的任何一个。 历史上，Python 提示符和内置的 repr() 函数选择一个 17 位精度的数字，0.10000000000000001。从 Python 3.1 开始，Python（在大多数系统上）能够从这些数字当中选择最短的一个并简单地显示0.1。 注意，这是二进制浮点数的自然性质：它不是 Python 中的一个 bug，也不是你的代码中的 bug。你会看到所有支持硬件浮点数算法的语言都会有这个现象（尽管有些语言默认情况下或者在所有输出模式下可能不会 _显示_ 出差异）。 为了输出更好看，你可能想用字符串格式化来生成固定位数的有效数字: ~~~ >>> format(math.pi, '.12g') # give 12 significant digits '3.14159265359' >>> format(math.pi, '.2f') # give 2 digits after the point '3.14' >>> repr(math.pi) '3.141592653589793' ~~~ 认识到这，在真正意义上，是一种错觉是很重要的：你在简单地舍入真实机器值的 _显示_。 例如，既然 0.1 不是精确的 1/10，3 个 0.1 的值相加可能也不会得到精确的 0.3: ~~~ >>> .1 + .1 + .1 == .3 False ~~~ 另外，既然 0.1 不能更接近 1/10 的精确值而且 0.3 不能更接近 3/10 的精确值，使用 round() 函数提前舍入也没有帮助: ~~~ >>> round(.1, 1) + round(.1, 1) + round(.1, 1) == round(.3, 1) False ~~~ 虽然这些数字不可能再更接近它们想要的精确值，round() 函数可以用于在计算之后进行舍入，这样的话不精确的结果就可以和另外一个相比较了: ~~~ >>> round(.1 + .1 + .1, 10) == round(.3, 10) True ~~~ 二进制浮点数计算有很多这样意想不到的结果。“0.1”的问题在下面”误差的表示”一节中有准确详细的解释。更完整的常见怪异现象请参见 [浮点数的危险](http://www.lahey.com/float.htm)。 最后我要说，“没有简单的答案”。也不要过分小心浮点数！Python 浮点数计算中的误差源之于浮点数硬件，大多数机器上每次计算误差不超过 2**53 分之一。对于大多数任务这已经足够了，但是你要在心中记住这不是十进制算法，每个浮点数计算可能会带来一个新的舍入错误。 虽然确实有问题存在，对于大多数平常的浮点数运算，你只要简单地将最终显示的结果舍入到你期望的十进制位数，你就会得到你期望的最终结果。str() 通常已经足够用了，对于更好的控制可以参阅 [格式化字符串语法](http://python.usyiyi.cn/python_341/library/string.html#formatstrings) 中 str.format() 方法的格式说明符。 对于需要精确十进制表示的情况，可以尝试使用 decimal 模块，它实现的十进制运算适合会计方面的应用和高精度要求的应用。 fractions 模块支持另外一种形式的运算，它实现的运算基于有理数（因此像1/3这样的数字可以精确地表示）。 如果你是浮点数操作的重度使用者，你应该看一下由 SciPy 项目提供的 Numerical Python 包和其它用于数学和统计学的包。参看 。 当你真的 _真_ 想要知道浮点数精确值的时候，Python 提供这样的工具可以帮助你。float.as_integer_ratio() 方法以分数的形式表示一个浮点数的值: ~~~ >>> x = 3.14159 >>> x.as_integer_ratio() (3537115888337719, 1125899906842624) ~~~ 因为比值是精确的，它可以用来无损地重新生成初始值: ~~~ >>> x == 3537115888337719 / 1125899906842624 True ~~~ float.hex() 方法以十六进制表示浮点数，给出的同样是计算机存储的精确值: ~~~ >>> x.hex() '0x1.921f9f01b866ep+1' ~~~ 精确的十六进制表示可以用来准确地重新构建浮点数: ~~~ >>> x == float.fromhex('0x1.921f9f01b866ep+1') True ~~~ 因为可以精确表示，所以可以用在不同版本的 Python（与平台相关）之间可靠地移植数据以及与支持同样格式的其它语言（例如 Java 和 C99）交换数据。 另外一个有用的工具是 math.fsum() 函数，它帮助求和过程中减少精度的损失。当数值在不停地相加的时候，它会跟踪“丢弃的数字”。这可以给总体的准确度带来不同，以至于错误不会累积到影响最终结果的点: ~~~ >>> sum([0.1] * 10) == 1.0 False >>> math.fsum([0.1] * 10) == 1.0 True ~~~