14.1. 表达错误
最后更新于：2022-04-01 00:50:20
这一节详细说明 “0.1” 示例，教你怎样自己去精确的分析此类案例。假设这里你已经对浮点数表示有基本的了解。
_Representation error_ 提及事实上有些（实际是大多数）十进制小数不能精确的表示为二进制小数。这是 Python （或 Perl，C，C++，Java，Fortran 以及其它很多）语言往往不能按你期待的样子显示十进制数值的根本原因:
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>>> 0.1 + 0.2
0.30000000000000004
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这是为什么？ 1/10 不能精确的表示为二进制小数。大多数今天的机器（2000年十一月）使用 IEEE-754 浮点数算法，大多数平台上 Python 将浮点数映射为 IEEE-754 “双精度浮点数”。754 双精度包含 53 位精度，所以计算机努力将输入的 0.1 转为 J/2**N 最接近的二进制小数。_J_ 是一个 53 位的整数。改写:
1 / 10 ~= J / (2**N)
为:
J ~= 2**N / 10
J 重现时正是 53 位（是 >= 2**52 而非 < 2**53 ）， N 的最佳值是 56:
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>>> 2**52
4503599627370496
>>> 2**53
9007199254740992
>>> 2**56/10
7205759403792793
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因此，56 是保持 J 精度的唯一 N 值。J 最好的近似值是整除的商:
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>>> q, r = divmod(2**56, 10)
>>> r
6
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因为余数大于 10 的一半，最好的近似是取上界:
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>>> q+1
7205759403792794
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因此在 754 双精度中 1/10 最好的近似值是是 2**56，或:
7205759403792794 / 72057594037927936
要注意因为我们向上舍入，它其实比 1/10 稍大一点点。如果我们没有向上舍入，它会比 1/10 稍小一点。但是没办法让它 恰好 是 1/10！
所以计算机永远也不 “知道” 1/10：它遇到上面这个小数，给出它所能得到的最佳的 754 双精度实数:
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>>> .1 * 2**55
7205759403792794.0
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如果我们把这小数乘以 10**55，我们可以看到其55位十进制数的值:
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>>> 3602879701896397 * 10 ** 55 // 2 ** 55
1000000000000000055511151231257827021181583404541015625
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这表示存储在计算机中的实际值近似等于十进制值 0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625。许多语言（包括旧版本的Python）会把结果舍入到17位有效数字，而不是显示全部的十进制值:
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>>> format(0.1, '.17f')
'0.10000000000000001'
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fractions 和 decimal 模块使得这些计算很简单:
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>>> from decimal import Decimal
>>> from fractions import Fraction
>>> Fraction.from_float(0.1)
Fraction(3602879701896397, 36028797018963968)
>>> (0.1).as_integer_ratio()
(3602879701896397, 36028797018963968)
>>> Decimal.from_float(0.1)
Decimal('0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625')
>>> format(Decimal.from_float(0.1), '.17')
'0.10000000000000001'
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