第8章 线性时间排序
最后更新于：2022-04-01 07:35:17
# 一、概念
### 1.比较排序
比较排序是指通过输入元素间的比较来确定各元素次序的排序算法。
任何比较排序在最坏情况下都要用O(nlgn)次比较来进行排序
合并排序和堆排序是渐近最优的
### 2.非比较排序
非比较排序指使用一些非比较的操作来确定排序顺序的排序算法
对于非比较排序，下界O(nlgn)不适用
计数排序是稳定排序，若n个数据的取值范围是[0..k]，则运行时间为O(n+k)，运行空间是O(n+k)
基数排序也是稳定排序，需要另一个稳定排序作为基础，若n个d位数，每一位有k种取值可能，所用的稳定排序运行时间为O(n+k)，则基数排序的时间是O(d(n+k))
桶排序也是稳定排序，当输入数据符合均匀分布时，桶排序可以以线性时间运行。所设所有元素均匀分布在区间[0,1)上，把区间[0,1)划分成n个相同大小的子区间（桶），对各个桶中的数进行排序，把依次把各桶中的元素列出来。
# 二、代码
~~~
#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
int length_A, digit;
void Print(int *A, int start, int end)
{
int i;
for(i = start; i <= end; i++)
{
if(i == start)cout<<'{';
else cout<<' ';
cout<<A[i];
}
cout<<'}'<<endl;
}
//计数排序
void Counting_Sort(int *A, int *B, int k)
{
int i, j;
//将C数组初始化为0，用于计数
int *C = new int[k+1];
for(i = 0; i <= k; i++)
C[i] = 0;
//C[j]表示数字j在数组A中出现的次数
for(j = 1; j <= length_A; j++)
C[A[j]]++;
//C[i]表示所以<=i的数字出现过的次数
for(i = 1; i <= k; i++)
C[i] = C[i] + C[i-1];
//初始化B为0，B用于输出排序结果
for(i = 1; i <= length_A; i++)
B[i] = 0;
for(j = length_A; j >= 1; j--)
{
//如果<=A[j]的数字的个数是x,那么排序后A[j]应该出现在第x个位置，即B[x]=A[j]
B[C[A[j]]] = A[j];
C[A[j]]--;
}
delete C;
}
//基数排序调用的稳定排序
void Stable_Sort(int *A, int *B, int k, int d)
{
int i, j;
//将C数组初始化为0，用于计数
int *C = new int[k+1];
for(i = 0; i <= k; i++)
C[i] = 0;
int *D = new int[length_A+1];
for(j = 1; j <= length_A; j++)
{
//D[j]表示第[j]个元素的第i位数字
D[j] = A[j] % (int)pow(10.0, d) / (int)pow(10.0, d-1);
//C[j]表示数字D[j]在数组A中出现的次数
C[D[j]]++;
}
//C[i]表示所以<=i的数字出现过的次数
for(i = 1; i <= k; i++)
C[i] = C[i] + C[i-1];
//初始化B为0，B用于输出排序结果
for(i = 1; i <= length_A; i++)
B[i] = 0;
for(j = length_A; j >= 1; j--)
{
//如果<=D[j]的数字的个数是x,那么排序后A[j]应该出现在第x个位置，即B[x]=A[j]
B[C[D[j]]] = A[j];
C[D[j]]--;
}
delete []C;
delete []D;
}
//基数排序
void Radix_Sort(int *A, int *B)
{
int i, j;
//依次对每一位进行排序，从低位到高位
for(i = 1; i <= digit; i++)
{
Stable_Sort(A, B, 9, i);
//输入的是A，输出的是B，再次排序时要把输出数据放入输出数据中
for(j = 1; j <= length_A; j++)
A[j] = B[j];
}
}
int main()
{
cin>>length_A>>digit;
int *A = new int[length_A+1];
int *B = new int[length_A+1];
int i;
//随机产生length_A个digit位的数据
for(i = 1; i <= length_A; i++)
{
A[i] = 0;
while(A[i] < (int)pow(10.0, digit-1))
A[i] = rand() % (int)pow(10.0, digit);
}
Print(A, 1, length_A);
// Counting_Sort(A, B, 9);
Radix_Sort(A, B);
Print(A, 1, length_A);
delete []A;
delete []B;
return 0;
}
~~~
# 三、练习
### 8.1 排序算法时间的下界
~~~
8.1-1
<span style="line-height: 20px; ">n-1，因为一个有序数组的排序中最少会进行n-1次比较</span>
8.1-2
数学题目不要看我
8.1-3
幸好有答案，不然题目的意思都看不懂。先解释一下题目的意思，高手跳过。
对于一个组包含n个元素的数据，可以有n!种不同的排列，也就是有n!种不同的输入。
对于一个排序算法，可以用一个决策树来表示。
对于任意一种输入排列，从树顶出发，根据该内结点的提示作对应的比较和调整，并决定进入其左子树还是右子树。当这个排列成为一个有序序列时到达叶子结点。这个叶结点就是这个输入排列对应的叶结点。从根结点到叶结点的长度就是这个排列的比较次数。
具有线性时间的输入是指n!种输入排列中满足以下条件的排列：排列的运行时间小于或等于O(n)
假设对于一组包含n个元素的数据，有n!种不同的输入排列，其中具有线性时间的输入排列有m种，求k = m/(n!)
若k<=1/2，那么所证明的命题成立。
后面一问是指k和1/n、1/(2^n)的比较
证明：
这m种输入排列分别对应决策树中的m个叶结点。一棵高度为h的树最多有2^h个叶结点。
2^h >= m =====> h >= lg(m)
若要一棵决策树包含m个叶结点，这棵决策树的高度最少为lg(m)
根据《算法导论》P98中定理8.1的公式，h>=O(nlgn)
只需要证明lg(m) <= O(nlgn)，那么k就是可以取到的值。
分别令k等于1/2、1/n、1/(2^n),代入m = k * (n!)得：
计算结果略，这几个值都不满足
8.1-4
不能简单地将子序列的下界合起来，这样做不准确。因为有可能存在一种比“独立解决各个子序列的排序”更快的算法。
这种计算比较次数的一般思路是：
(1)统计有多少种不同的输入排列
(2)每一种输入排列对应决策树的一个叶子结点。
(3)根据叶结点的数量与树的高度的关系，计算决策树的高度
(4)从树根到叶结点的长度就是这个叶结点对应的输入排列的比较次数
对于这道题，可以这样计算：
(1)每个子序列有k个元素，因此有k!种不同的输入排列。
共有n/k个子序列，因此共有(k!)^(n/k)种输入排列
(2)决策树至少有(k!)^(n/k)个叶子
(3)一棵高度为h的决策树，最多有2^h个叶子结点
2^h >= (k!)^(n/k) =====> h >= (n/2)lg(k/2)
(4)对于任意一树决策树，至少有一条叶子路径长度超过(n/2)lg(k/2)，因此比较次数下界是O(nlgk)
~~~
### 8.2 计数排序
~~~
8.2-1因为假设待排序数据的范围中[0,k]，所以B被初始化为-1
A = {6 0 2 0 1 3 4 6 1 3 2}
==> C = {2 2 2 2 1 0 2}
==> C = {2 4 6 8 9 9 11}
==> B = {-1 -1 -1 -1 -1 2 -1 -1 -1 -1 -1}
C = {2 4 5 8 9 9 11}
==> B = {-1 -1 -1 -1 -1 2 -1 3 -1 0 -1 -1}
C = {2 4 5 7 9 9 11}
==> B = {-1 -1 -1 1 -1 2 -1 3 -1 -1 -1}
C = {2 3 5 7 9 9 11}
==> B = {-1 -1 -1 1 -1 2 -1 3 -1 -1 6}
C = {2 3 5 7 9 9 10}
==> B = {-1 -1 -1 1 -1 2 -1 3 4 -1 6}
C = {2 3 5 7 8 9 10}
==> B = {-1 -1 -1 1 -1 2 3 3 4 -1 6}
C = {2 3 5 6 8 9 10}
==> B = {-1 -1 1 1 -1 2 3 3 4 -1 6}
C = {2 2 5 6 8 9 10}
==> B = {-1 0 1 1 -1 2 3 3 4 -1 6}
C = {1 2 5 6 8 9 10}
==> B = {-1 0 1 1 2 2 3 3 4 -1 6}
C = {1 2 4 6 8 9 10}
==> B = {0 0 1 1 2 2 3 3 4 -1 6}
C = {0 2 4 6 8 9 10}
==> B = {0 0 1 1 2 2 3 3 4 6 6}
C = {0 2 4 6 8 9 9}
8.2-2
辅助数组C[j]记录的是小于或等于i的元素的个数。若几个元素的大小相等，则把这些元素依次从后往前填入排序数组中。因为处理元素的顺序是从后往前的(L9)，所以晚出现的元素会填到后面。因此是稳定排序
8.2-3
不稳定
8.2-4
COUNTING-SORT(A, B, k)中步骤L1-L4求出C，ans(a, b) = C[b] - C[a-1], C[-1]=0
~~~
### 8.3 基数排序
8.3-1
~~~
A = {COW, DOG, SEA, RUG, ROW, MOB, BOX, TAB, BAR, EAR, TAR, DIG, BIG, TEA, NOW, FOX}
==> A = {SEA, TEA, MOB, TAB, DOG, RUG, DIG, BIG, BAR, EAR, TAR, COW, ROW, NOW, BOX, FOX}
==> A = {TAB, BAR, EAR, TAR, SEA, TEA, DIG, BIG, MOB, DOG, COW, ROW, NOW, BOX, FOX, RUB}
==> A = {BAR, BIG, BOX, COW, DIG, DOG, EAR, FOX, MOB, NOW, ROW, TAB, TAR, TEA, SEA, RUB}
~~~
8.3-2
稳定排序有：插入排序，合并排序
方法：为每一个元素加入一个最初位置的属性，但两个元素的value一样大时，比较position，这样不会有相同的两个元素
额外空间：O(4n)
8.3-3
(1)当d=1时，元素只有一位，对这一位做排序就相当于对整个数组做排序了。
(2)证明当1到d-1位排序是正确的时，对d位的排序也是正确的。
(3)对于数组中的任意两个数a和b，假设它们的第d位分别是ad和bd
若ad<bd，则a会排到b的前面
若ad>bd，则a会排到b的后面
若ad=bd，则a和b的相对位置不变，因为是稳定排序，这一点可以保证。
8.3-4
把整数转换为n进制再排序，见[算法导论8.3-4](http://blog.csdn.net/mishifangxiangdefeng/article/details/7685839)
8.3-5
最坏情况下需要d遍
### 8.4 桶排序
~~~
8.4-1
A = ｛0.79， 0.13， 0.16， 0.64， 0.39， 0.20， 0.89， 0.53， 0.71， 0.42｝
==> A = ｛0.13， 0.16， 0.20， 0.39， 0.42， 0.53， 0.64， 0.79， 0.71， 0.89｝
==> A = ｛0.13， 0.16， 0.20， 0.39， 0.42， 0.53， 0.64， 0.71， 0.79， 0.89｝
8.4-2
最坏情况是O(n^2)
修改：使用最坏情况下时间为O(nlgn)的算法来处理桶的插入操作
8.4-3
E(X^2)=1/4 * 0 + 1/2 * 1 + 1/4 * 4 = 3/2
E^2(X)=[1/4 * 0 + 1/2 * 1 + 1/4 * 2]^2 = 1^2 = 1
8.4-4
假设分为n个桶
BUCKET-SORT(A)
1 n <- length[A]
2 for i <- 1 to n
3 do insert A[i] to list B[n*(A[i].x^2 + A[i].y^2)]
4 for i <- 0 to n-1
5 do sort list B[i] with insertion sort
6 concatenate the lists B[0], B[1], ……,B[n-1] together in order
8.4-5
~~~
不会，网上找了份答案，不懂
X合适分布P，不必然是均匀分布，且不知局限。但P(x)值属于[0,1]，且对于X严格单调递增，排序P(x)即排序X。将P(x)均匀分为n个项目组，因为X随机拔取，所以落入每个局限的概率雷同。
若是(i-1)/n <= p(xi) < i/n，则将它放入第i个桶中。
[http://www.mysjtu.com/page/M0/S696/696126.html](http://www.mysjtu.com/page/M0/S696/696126.html)
# 四、思考题
### 8-1 比较排序的平均情况下界
~~~
a)n个不同的元素对应n!个不同的输入，因此只有这n!个输入所对应的叶结点是有概率的，其余概率均为0。
由于这n!种输入的出现是等概率的，每一种的都是1/n1，因此其对应的叶结点的概率也是1/n!
b)设T(n)是一个叶子结点n的在决策树T上的深度，RT(n)、LT(n)分别表示n在T的右、左子树上的深度。
那么T(n)=RT(n)+1或T(n)=LT(n)+1
因此D(T)=D(RT)+D(LT)+k
c)后面这几题，以我有限的智商和数学能力理解不了，也看不懂网上的答案，不写了
~~~
### 8-2 以线性时间原地转换排序
~~~
a)计数排序
b)快速排序
c)稳定排序
d)基数排序要求所使用的排序方法是满足的（条件2），如果要在O(bn)时间内完成，所使用算法的时间应该是O(n)（条件1），所以只有a可以
e)不稳定
COUNTING-SORT(A, k)
1 for i <- 0 to k
2 do C[i] <- 0
3 for j <-1 to length[A]
4 C[A[j]] <- C[A[j]] + 1
5 cnt <- 1
6 for i <- 1 to k
7 while C[i] > 0
8 A[cnt] <- i
9 C[i] <- C[j] - 1
10 cnt <- cnt + 1
~~~
### 8-3 排序不同长的数据项
见[算法导论-8-3-排序不同长度的数据项](http://blog.csdn.net/mishifangxiangdefeng/article/details/7686099)
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a)先用计数排序算法法按数字位数排序O(n)，再用基数排序的方法分别对每个桶中的元素排序O(n)
b)递归使用计数排序，先依据第一个字母进行排序，首字相同的放在同一组，再对每一组分别使用计数排序的方法比较第二个字母
见到有人用字典树，也是可以的
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### 8-4 水壶
~~~
a)最原始的比较方法，所有的红水壶与所有的蓝水壶依次比较
c)算法类似于快排，由于不是同种颜色的水壶之间比较，所以采用交叉比较
step1：从红色水壶中随机选择一个
step2：以红色水壶为主元对蓝色水壶进行划分
step3：划分的结果是两个数组，并得到与红色水壶相同大小的蓝色水壶
step4：以这个蓝色水壶为主元，对红色水壶进行划分
step5：用step1到step4的过程不断迭代
~~~
### 8-5 平均排序
见[算法导论6.5-8堆排序-K路合并](http://blog.csdn.net/mishifangxiangdefeng/article/details/7668486)
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a)1排序是完全排序
b)1，3，2，4，5，7，6，8，9，10
c)分工展开化简即可
d)
step1：分别把1, 1+k, 1+2k, 1+3k,……;2, 2+k, 2+2k, 2+3k,……；……当作是单独的集合
step2：对每个集合进行排序时间为O(nlg(n/k))
e)
step1：同d)step1
step2：用堆排序进行k路合并
~~~
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8-6 合并已排序列表的下界
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a)2n个数，随机选n个数，可选的方法有C(2n,n)种
b)2^h >= C(2n,n)
=====> h >= lg((2n)!) - 2lg(n!)
=====> h >= 2nlg2n - 2nlgn
=====> h >= 2nlg2
只能推到这了，最后怎么算，还希望高手指点
c)d)看上去很显然的事情，不知道怎么证
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