第14章 14.1 动态顺序统计
最后更新于：2022-04-01 07:35:40
# 一、概念
### 1.动态顺序统计
动态顺序统计是指，在一个动态的无序的集合中，任意的顺序统计量都可以在O(lgn)时间内确定。
### 2.基础数组结构
红黑树，每个树结点的域包括：key[x]，color[x]，left[x]，right[x]
### 3.附加信息
size[x]：以结点x为根的子树的内部结点（包括x）数，即子树的大小。
如果定义哨兵nil，则size[nil[T]]为0
size[x] = size[left[x]] + size[right[x]] + 1
### 4.对信息的维护
（1）插入操作：
第一个阶段，即从根开始，沿树下降，将新结点插入为某个已有结点的孩子，这一阶段的维护方法是对路径上每个结点的size都+1，时间是O(lgn)
第二个阶段，即沿树上升，做一些颜色修改和旋转以保持红黑性质，例如LEFT-ROTATE(T, x)，维护方法是size[y]<-size[x]，size[x]<-size[left[x]] + size[right[x]] + 1，由于至多旋转两次，时间是O(1)
（2）删除操作：
第一阶段，即对查找树进行操作，维护方法是对路径上每个结点的size都-1，时间是O(lgn)
第二阶段到多做三次旋转，维护方式与上面相同，时间是O(1)
### 5.设计新的操作
OS-SELECT(x, i)：找出顺序统计树T中的第i小关键字，时间为O(lgn)
OS-RANK(T, x)：给定指向一顺序统计树T中结点x的指针，返回对T进行中序遍历后得到 的线性序中x的位置，时间为O(lgn)
# 二、代码
### 1.Os_Tree.h
~~~
#include <iostream>
using namespace std;
#define BLACK 0
#define RED 1
//顺序统计量树结点结构
struct node
{
/*红黑树的域*/
int key;
bool color;
node *p;
node *left;
node *right;
/*附加信息*/
int size;//以结点x为根的子树的内部结点的个数，x->key=x->left->key+x->right->key+1
/*构造函数*/
node(node *init, int k):left(init),right(init),p(init),key(k),color(BLACK),size(1){}
};
//顺序统计量树结构
class Os_Tree
{
public:
node *root;
node *nil;//哨兵
/*构造函数*/
Os_Tree(){nil = new node(NULL, -1);root = nil;nil->size = 0;};
/*动态顺序统计相关操作*/
node *Os_Select(node *x, int i);
int Os_Rank(node *x);
/*红黑树的相关操作*/
void Left_Rotate(node *x);//左旋
void Right_Rotate(node *x);//右旋
void Os_Insert_Fixup(node *z);//插入调整
void Os_Insert(node *z);//插入
void Os_Delete_Fixup(node *x);//删除调整
node *Os_Delete(node *z);//删除
void Print();//输出
void Print(node *x);//输出
node *Os_Search(node *x, int k);//在x的子树中查找关键字为k的结点
node *Tree_Successor(node *x);//求后继
node *Tree_Minimum(node *x);//求关键字最小的点
};
//左旋，令y = x->right, 左旋是以x和y之间的链为支轴进行旋转
//涉及到的结点包括：x,y,y->left，令node={p,l,r},具体变化如下：
//x={x->p,x->left,y}变为{y,x->left,y->left}
//y={x,y->left,y->right}变为{x->p,x,y->right}
//y->left={y,y->left->left,y->left->right}变为{x,y->left->left,y->left->right}
void Os_Tree::Left_Rotate(node *x)
{
//令y = x->right
node *y = x->right;
//按照上面的方式修改三个结点的指针，注意修改指针的顺序
x->right = y->left;
if(y->left != nil)
y->left->p = x;
y->p = x->p;
if(x->p == nil)//特殊情况：x是根结点
root = y;
else if(x == x->p->left)
x->p->left = y;
else
x->p->right = y;
y->left = x;
x->p = y;
//对附加信息的维护
y->size = x->size;
x->size = x->left->size + x->right->size + 1;
}
//右旋，令y = x->left, 左旋是以x和y之间的链为支轴进行旋转
//旋转过程与上文类似
void Os_Tree::Right_Rotate(node *x)
{
node *y = x->left;
x->left = y->right;
if(y->right != nil)
y->right->p = x;
y->p = x->p;
if(x->p == nil)
root = y;
else if(x == x->p->right)
x->p->right = y;
else
x->p->left = y;
y->right = x;
x->p = y;
//对附加信息的维护
y->size = x->size;
x->size = x->left->size + x->right->size + 1;
}
//红黑树调整
void Os_Tree::Os_Insert_Fixup(node *z)
{
node *y;
//唯一需要调整的情况，就是违反性质2的时候，如果不违反性质2，调整结束
while(z->p->color == RED)
{
//p[z]是左孩子时，有三种情况
if(z->p == z->p->p->left)
{
//令y是z的叔结点
y = z->p->p->right;
//第一种情况，z的叔叔y是红色的
if(y->color == RED)
{
//将p[z]和y都着为黑色以解决z和p[z]都是红色的问题
z->p->color = BLACK;
y->color = BLACK;
//将p[p[z]]着为红色以保持性质5
z->p->p->color = RED;
//把p[p[z]]当作新增的结点z来重复while循环
z = z->p->p;
}
else
{
//第二种情况：z的叔叔是黑色的，且z是右孩子
if(z == z->p->right)
{
//对p[z]左旋，转为第三种情况
z = z->p;
Left_Rotate(z);
}
//第三种情况：z的叔叔是黑色的，且z是左孩子
//交换p[z]和p[p[z]]的颜色，并右旋
z->p->color = BLACK;
z->p->p->color = RED;
Right_Rotate(z->p->p);
}
}
//p[z]是右孩子时，有三种情况，与上面类似
else if(z->p == z->p->p->right)
{
y = z->p->p->left;
if(y->color == RED)
{
z->p->color = BLACK;
y->color = BLACK;
z->p->p->color = RED;
z = z->p->p;
}
else
{
if(z == z->p->left)
{
z = z->p;
Right_Rotate(z);
}
z->p->color = BLACK;
z->p->p->color = RED;
Left_Rotate(z->p->p);
}
}
}
//根结点置为黑色
root->color = BLACK;
}
//插入一个结点
void Os_Tree::Os_Insert(node *z)
{
node *y = nil, *x = root;
//找到应该插入的位置，与二叉查找树的插入相同
while(x != nil)
{
x->size++;
y = x;
if(z->key < x->key)
x = x->left;
else
x = x->right;
}
z->p = y;
if(y == nil)
root = z;
else if(z->key < y->key)
y->left = z;
else
y->right = z;
z->left = nil;
z->right = nil;
//将新插入的结点转为红色
z->color = RED;
//从新插入的结点开始，向上调整
Os_Insert_Fixup(z);
}
//对树进行调整，x指向一个红黑结点，调整的过程是将额外的黑色沿树上移
void Os_Tree::Os_Delete_Fixup(node *x)
{
node *w;
//如果这个额外的黑色在一个根结点或一个红结点上，结点会吸收额外的黑色，成为一个黑色的结点
while(x != root && x->color == BLACK)
{
//若x是其父的左结点（右结点的情况相对应）
if(x == x->p->left)
{
//令w为x的兄弟，根据w的不同，分为三种情况来处理
//执行删除操作前x肯定是没有兄弟的，执行删除操作后x肯定是有兄弟的
w = x->p->right;
//第一种情况：w是红色的
if(w->color == RED)
{
//改变w和p[x]的颜色
w->color = BLACK;
x->p->color = RED;
//对p[x]进行一次左旋
Left_Rotate(x->p);
//令w为x的新兄弟
w = x->p->right;
//转为2.3.4三种情况之一
}
//第二情况：w为黑色，w的两个孩子也都是黑色
if(w->left->color == BLACK && w->right->color == BLACK)
{
//去掉w和x的黑色
//w只有一层黑色，去掉变为红色，x有多余的一层黑色，去掉后恢复原来颜色
w->color = RED;
//在p[x]上补一层黑色
x = x->p;
//现在新x上有个额外的黑色，转入for循环继续处理
}
//第三种情况，w是黑色的,w->left是红色的,w->right是黑色的
else
{
if(w->right->color == BLACK)
{
//改变w和left[x]的颜色
w->left->color = BLACK;
w->color = RED;
//对w进行一次右旋
Right_Rotate(w);
//令w为x的新兄弟
w = x->p->right;
//此时转变为第四种情况
}
//第四种情况：w是黑色的,w->left是黑色的,w->right是红色的
//修改w和p[x]的颜色
w->color =x->p->color;
x->p->color = BLACK;
w->right->color = BLACK;
//对p[x]进行一次左旋
Left_Rotate(x->p);
//此时调整已经结束，将x置为根结点是为了结束循环
x = root;
}
}
//若x是其父的左结点（右结点的情况相对应）
else if(x == x->p->right)
{
//令w为x的兄弟，根据w的不同，分为三种情况来处理
//执行删除操作前x肯定是没有兄弟的，执行删除操作后x肯定是有兄弟的
w = x->p->left;
//第一种情况：w是红色的
if(w->color == RED)
{
//改变w和p[x]的颜色
w->color = BLACK;
x->p->color = RED;
//对p[x]进行一次左旋
Right_Rotate(x->p);
//令w为x的新兄弟
w = x->p->left;
//转为2.3.4三种情况之一
}
//第二情况：w为黑色，w的两个孩子也都是黑色
if(w->right->color == BLACK && w->left->color == BLACK)
{
//去掉w和x的黑色
//w只有一层黑色，去掉变为红色，x有多余的一层黑色，去掉后恢复原来颜色
w->color = RED;
//在p[x]上补一层黑色
x = x->p;
//现在新x上有个额外的黑色，转入for循环继续处理
}
//第三种情况，w是黑色的,w->right是红色的,w->left是黑色的
else
{
if(w->left->color == BLACK)
{
//改变w和right[x]的颜色
w->right->color = BLACK;
w->color = RED;
//对w进行一次右旋
Left_Rotate(w);
//令w为x的新兄弟
w = x->p->left;
//此时转变为第四种情况
}
//第四种情况：w是黑色的,w->right是黑色的,w->left是红色的
//修改w和p[x]的颜色
w->color =x->p->color;
x->p->color = BLACK;
w->left->color = BLACK;
//对p[x]进行一次左旋
Right_Rotate(x->p);
//此时调整已经结束，将x置为根结点是为了结束循环
x = root;
}
}
}
//吸收了额外的黑色
x->color = BLACK;
}
//找最小值
node *Os_Tree::Tree_Minimum(node *x)
{
//只要有比当前结点小的结点
while(x->left != nil)
x = x->left;
return x;
}
//查找中序遍历下x结点的后继，后继是大于key[x]的最小的结点
node *Os_Tree::Tree_Successor(node *x)
{
//如果有右孩子
if(x->right != nil)
//右子树中的最小值
return Tree_Minimum(x->right);
//如果x的右子树为空且x有后继y，那么y是x的最低祖先结点，且y的左儿子也是
node *y = x->p;
while(y != NULL && x == y->right)
{
x = y;
y = y->p;
}
return y;
}
//递归地查询二叉查找树
node *Os_Tree::Os_Search(node *x, int k)
{
//找到叶子结点了还没找到，或当前结点是所查找的结点
if(x->key == -1 || k == x->key)
return x;
//所查找的结点位于当前结点的左子树
if(k < x->key)
return Os_Search(x->left, k);
//所查找的结点位于当前结点的左子树
else
return Os_Search(x->right, k);
}
//红黑树的删除
node *Os_Tree::Os_Delete(node *z)
{
//找到结点的位置并删除，这一部分与二叉查找树的删除相同
node *x, *y;
if(z->left == nil || z->right == nil)
y = z;
else y = Tree_Successor(z);
node *p = y->p;
while(p != nil)
{
p->size--;
p = p->p;
}
if(y->left != nil)
x = y->left;
else x = y->right;
x->p = y->p;
if(y->p == nil)
root = x;
else if(y == y->p->left)
y->p->left = x;
else
y->p->right = x;
if(y != z)
z->key = y->key;
//如果被删除的结点是黑色的，则需要调整
if(y->color == BLACK)
Os_Delete_Fixup(x);
return y;
}
void Os_Tree::Print(node *x)
{
if(x->key == -1)
return;
Print(x->left);
cout<<x->key<<' '<<x->color<<endl;
Print(x->right);
}
void Os_Tree::Print()
{
Print(root);
cout<<endl;
}
//查找以x为根结点的树中第i大的结点
node *Os_Tree::Os_Select(node *x, int i)
{
//令x左子树中点的个数为r-1,
int r = x->left->size +1;
//那么x是x树中第r大的结点
if(r == i)
return x;
//第i大的元素在x->left中
else if(i < r)
return Os_Select(x->left, i);
//第i大的元素在x->right中
else
return Os_Select(x->right, i - r);
}
//计算树T中进行顺序遍历后得到的线性序中x的位置
int Os_Tree::Os_Rank(node *x)
{
//置r为以x为根的子树中key[x]的秩
int r = x->left->size + 1;
node *y = x;
while(y != root)
{
//若y是p[y]的右孩子，p[y]和p[y]左子树中所有结点前于x
if(y == y->p->right)
r = r + y->p->left->size + 1;
y = y->p;
}
return r;
}
~~~
### 2.main.cpp
~~~
#include <iostream>
#include "Os_Tree.h"
using namespace std;
int main()
{
char ch;
int x;
//生成一棵顺序统计树
Os_Tree *T = new Os_Tree;
while(1)
{
cin>>ch;
switch(ch)
{
//插入一个元素
case 'I':
{
cin>>x;
node *z = new node(T->nil, x);
T->Os_Insert(z);
break;
}
//删除一个元素
case 'D':
{
cin>>x;
node *z = T->Os_Search(T->root, x);
if(z == NULL)
cout<<"not exist"<<endl;
else
T->Os_Delete(z);
break;
}
//计算第x小关键字
case 'S':
{
cin>>x;
node *z = T->Os_Select(T->root, x);
if(z == NULL)
cout<<"not exist"<<endl;
else
cout<<z->key<<endl;
break;
}
//计算x的位置
case 'R':
{
cin>>x;
node *z = T->Os_Search(T->root, x);
if(z == NULL)
cout<<"not exist"<<endl;
else
cout<<T->Os_Rank(z)<<endl;
break;
}
case 'P':
T->Print();
break;
default:
break;
}
}
return 0;
}
~~~
# 三、练习
14.1-3
~~~
//14.1-3非递归地查找以x为根结点的树中第i大的结点
node *Os_Tree::Os_Select_Iterative(node *x, int i)
{
//根结点开始找起
while(x != NULL)
{
int r = x->left->size + 1;
//如果找到了
if(r == i)
return x;
//如果位置更靠前
if(i < r)
x = x->left;
//如果位置更靠后
else
{
x = x->right;
i = i - r;
}
}
}
~~~
14.1-4
~~~
//14.1-4递归地计算树T中进行顺序遍历后得到的线性序中x的位置
int Os_Tree::Os_Rank_Recursion(node *root, node *x)
{
if(x->key == root->key)
return root->left->size + 1;
if(x->key > root->key)
//左子树的结点个数 + 根结点 + x在右结点中的秩
return root->left->size + 1 + Os_Rank_Recursion(root->right, x);
//在左子树中的秩
return Os_Rank_Recursion(root->left, x);
}
~~~
14.1-5
~~~
//14.1-5确定x在该树的线性序中第i个后继
node *Os_Tree::Next(node *x, int i)
{
//就是当前结点
if(i == 0)
return x;
//在x的右子树中
if(x->right != nil && x->right->size >= i)
return Os_Select(x->right, i);
//或在x某个祖先的右子树中
else
{
//找到某个“有右子树”且“x不在其右子树上”的祖先
while(x->p != NULL && x == x->p->right)
x = x->p;
//找到了根结点，就停止查找
if(x->p == NULL)
{
cout<<"error:not exist"<<endl;
exit(0);
}
//对这个祖先进行递归的查找
Next(x, i-1);
}
}
~~~
15.1-6
~~~
附加信息rank[x]
插入时，若插入到x结点的左子树中，则rank[x] = rank[x] + 1，否则不变
删除时，若删除的结点在x的左子树中，则rank[x] = rank[x] - 1，否则不变
左旋时，若对x执行左旋，令y=x->right，则rank[x]不变，rank[y] = rank[y] + rank[x]
右旋时，若对x执行右旋，令y=x->left，则rank[y]不变，rank[x] = rank[x] + rank[y]
~~~
14.1-7
见[算法导论-14.1-7](http://blog.csdn.net/mishifangxiangdefeng/article/details/7730702)
[求逆序数](http://blog.csdn.net/mishifangxiangdefeng/article/details/7175642)中介绍了使用树状数组或归并排序求逆序对，这里使用顺序统计数。
数组中某个数字s[i]的逆序数是指出现在s[i]之前，但是比s[i]大的数字的个数。
根据顺序统计量的Os_Rank()，每插入到一个元素x后，可以求得在已经出现的元素中，比x大的数字的个数
14.1-8【转】
通过角度来判断两条弦是否相交，这样可以在O(n*logn)内完成。
对于两条弦P1P2和Q1Q2来说（顺时针），圆心与端点形成的向量有一个角度A
如果A(P1)<A(Q1)<A(P2)<A(Q2)或者A(Q1)<A(P1)<A(Q2)<A(P2)，这样角度区间“交叉”就意味着两条弦有交叉。
通过角度来统计交叉弦的对数，和“逆序对”的问题本质上是一样的
这可以看做是“顺序统计树”的典型应用。
我们判断两条弦是否相交的依据还是上面提到的“角度”区间是否有“交叉”现象发生
（注意一个区间包含另一个区间的情况不能算作“交叉”）
首先n条弦共2n个端点，每个端点对于圆心来说，都对应一个[0,2*pi)内的角度。
我们按角度大小（实际上就是逆时针方向）对这2n个角度进行排序，这一步需要花费O(n*logn)
对于每条弦来说，它的两个端点都可以看做是“事件点”：从0角度开始逆时针在圆上扫描，遇到弦的第一个点可以看成是弦的“起点”，遇到的第二个点看成是弦的“终点”。
然后，我们用一棵“顺序统计树”来辅助进行处理（初始化当然为空）。
~~~
按照角度小到大的顺序遍历这2n个端点：
如果该端点是某条弦X的“起点”
{
将弦X插入顺序统计树中（以X的“起点”角度作为key）；
}
如果该端点是某条弦X的“终点”
{
统计出目前这棵树中有多少条弦的“起点”角度比X的“起点”角度大，这就是与X相交的弦的数量；
//对于顺序统计树来说，上面这步只要O(logn)就能实现
将弦X从顺序统计树中删除； //这一步同样只需要O(logn)
}
~~~