2.1 寻找最小的 k 个数
最后更新于：2022-04-01 14:59:54
## 题目描述
输入n个整数，输出其中最小的k个。
## [](https://github.com/julycoding/The-Art-Of-Programming-By-July/blob/master/ebook/zh/02.01.md#分析与解法)分析与解法
### [](https://github.com/julycoding/The-Art-Of-Programming-By-July/blob/master/ebook/zh/02.01.md#解法一)解法一
要求一个序列中最小的k个数，按照惯有的思维方式，则是先对这个序列从小到大排序，然后输出前面的最小的k个数。
至于选取什么的排序方法，我想你可能会第一时间想到快速排序（我们知道，快速排序平均所费时间为`n*logn`），然后再遍历序列中前k个元素输出即可。因此，总的时间复杂度：`O（n * log n)+O(k)=O（n * log n）`。
### [](https://github.com/julycoding/The-Art-Of-Programming-By-July/blob/master/ebook/zh/02.01.md#解法二)解法二
咱们再进一步想想，题目没有要求最小的k个数有序，也没要求最后n-k个数有序。既然如此，就没有必要对所有元素进行排序。这时，咱们想到了用选择或交换排序，即：
1、遍历n个数，把最先遍历到的k个数存入到大小为k的数组中，假设它们即是最小的k个数；
2、对这k个数，利用选择或交换排序找到这k个元素中的最大值kmax（找最大值需要遍历这k个数，时间复杂度为`O（k）`）；
3、继续遍历剩余n-k个数。假设每一次遍历到的新的元素的值为x，把x与kmax比较：如果`x = kmax`，则继续遍历不更新数组。
每次遍历，更新或不更新数组的所用的时间为`O（k）`或`O（0）`。故整趟下来，时间复杂度为`n*O（k）=O（n*k）`。
### [](https://github.com/julycoding/The-Art-Of-Programming-By-July/blob/master/ebook/zh/02.01.md#解法三)解法三
更好的办法是维护容量为k的最大堆，原理跟解法二的方法相似：
* 1、用容量为k的最大堆存储最先遍历到的k个数，同样假设它们即是最小的k个数；
* 2、堆中元素是有序的，令k1<k2<...<kmax（kmax设为最大堆中的最大元素）
* 3、遍历剩余n-k个数。假设每一次遍历到的新的元素的值为x，把x与堆顶元素kmax比较：如果`x < kmax`，用x替换kmax，然后更新堆（用时logk）；否则不更新堆。
这样下来，总的时间复杂度:`O（k+（n-k）*logk）=O（n*logk）`。此方法得益于堆中进行查找和更新的时间复杂度均为：`O(logk)`（若使用解法二：在数组中找出最大元素，时间复杂度：`O（k））`。
### [](https://github.com/julycoding/The-Art-Of-Programming-By-July/blob/master/ebook/zh/02.01.md#解法四)解法四
在《数据结构与算法分析--c语言描述》一书，第7章第7.7.6节中，阐述了一种在平均情况下，时间复杂度为`O（N）`的快速选择算法。如下述文字：
* 选取S中一个元素作为枢纽元v，将集合S-{v}分割成S1和S2，就像快速排序那样
* 如果k <= |S1|，那么第k个最小元素必然在S1中。在这种情况下，返回QuickSelect(S1, k)。
* 如果k = 1 + |S1|，那么枢纽元素就是第k个最小元素，即找到，直接返回它。
* 否则，这第k个最小元素就在S2中，即S2中的第（k - |S1| - 1）个最小元素，我们递归调用并返回QuickSelect(S2, k - |S1| - 1)。
此算法的平均运行时间为O(n)。
示例代码如下：
~~~
//QuickSelect 将第k小的元素放在 a[k-1]
void QuickSelect( int a[], int k, int left, int right )
{
int i, j;
int pivot;
if( left + cutoff <= right )
{
pivot = median3( a, left, right );
//取三数中值作为枢纽元，可以很大程度上避免最坏情况
i = left; j = right - 1;
for( ; ; )
{
while( a[ ++i ] < pivot ){ }
while( a[ --j ] > pivot ){ }
if( i < j )
swap( &a[ i ], &a[ j ] );
else
break;
}
//重置枢纽元
swap( &a[ i ], &a[ right - 1 ] );
if( k <= i )
QuickSelect( a, k, left, i - 1 );
else if( k > i + 1 )
QuickSelect( a, k, i + 1, right );
}
else
InsertSort( a + left, right - left + 1 );
}
~~~
这个快速选择SELECT算法，类似快速排序的划分方法。N个数存储在数组S中，再从数组中选取“中位数的中位数”作为枢纽元X，把数组划分为Sa和Sb俩部分，Sa<=X<=Sb，如果要查找的k个元素小于Sa的元素个数，则返回Sa中较小的k个元素，否则返回Sa中所有元素+Sb中小的k-|Sa|个元素，这种解法在平均情况下能做到`O(n)`的复杂度。
更进一步，《算法导论》第9章第9.3节介绍了一个最坏情况下亦为O(n)时间的SELECT算法，有兴趣的读者可以参看。
## [](https://github.com/julycoding/The-Art-Of-Programming-By-July/blob/master/ebook/zh/02.01.md#举一反三)举一反三
1、谷歌面试题：输入是两个整数数组，他们任意两个数的和又可以组成一个数组，求这个和中前k个数怎么做？
分析：
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“假设两个整数数组为A和B，各有N个元素，任意两个数的和组成的数组C有N^2个元素。
那么可以把这些和看成N个有序数列：
A[1]+B[1] <= A[1]+B[2] <= A[1]+B[3] <=…
A[2]+B[1] <= A[2]+B[2] <= A[2]+B[3] <=…
…
A[N]+B[1] <= A[N]+B[2] <= A[N]+B[3] <=…
问题转变成，在这N^2个有序数列里，找到前k小的元素”
~~~
2、有两个序列A和B,A=(a1,a2,...,ak),B=(b1,b2,...,bk)，A和B都按升序排列。对于1<=i,j<=k，求k个最小的（ai+bj）。要求算法尽量高效。
3、给定一个数列a1,a2,a3,...,an和m个三元组表示的查询，对于每个查询(i，j，k)，输出ai，ai+1，...，aj的升序排列中第k个数。