5.2 字符串编辑距离

## 题目描述 给定一个源串和目标串，能够对源串进行如下操作： 1. 在给定位置上插入一个字符 2. 替换任意字符 3. 删除任意字符 写一个程序，返回最小操作数，使得对源串进行这些操作后等于目标串，源串和目标串的长度都小于2000。 ## [](https://github.com/julycoding/The-Art-Of-Programming-By-July/blob/master/ebook/zh/05.02.md#分析与解法)分析与解法 此题常见的思路是动态规划，假如令dp[i][j] 表示源串S[0…i] 和目标串T[0…j] 的最短编辑距离，其边界：dp[0][j] = j，dp[i][0] = i，那么我们可以得出状态转移方程： * ~~~ dp[i][j] =min{ * dp[i-1][j] + 1 , S[i]不在T[0…j]中 * dp[i-1][j-1] + 1/0 , S[i]在T[j] * dp[i][j-1] + 1 , S[i]在T[0…j-1]中 } ~~~ 接下来，咱们重点解释下上述3个式子的含义 * 关于dp[i-1][j] + 1, s.t. s[i]不在T[0…j]中的说明 * s[i]没有落在T[0…j]中，即s[i]在中间的某一次编辑操作被删除了。因为删除操作没有前后相关性，不妨将其在第1次操作中删除。除首次操作时删除外，后续编辑操作是将长度为i-1的字符串，编辑成长度为j的字符串：即dp[i-1][j]。 * 因此：dp[i][j] = dp[i-1][j] + 1。 * 关于dp[i-1][j-1] + 0/1, s.t. s[i] 在T[j]的说明 * 若s[i]经过编辑，最终落在T[j]的位置。 * 则要么s[i] == t[j]，s[i]直接落在T[j]。这种情况，编辑操作实际上是将长度为i-1的S’串，编辑成长度为j-1的T’串：即dp[i-1][j-1]； * 要么s[i] ≠ t[j]，s[i] 落在T[j]后，要将s[i]修改成T[j]，即在上一种情况的基础上，增加一次修改操作：即dp[i-1][j-1] + 1。 * 关于dp[i][j-1] + 1, s.t. s[i]在T[0…j-1]中的说明 * 若s[i]落在了T[1…j-1]的某个位置，不妨认为是k，因为最小编辑步数的定义，那么，在k+1到j-1的字符，必然是通过插入新字符完成的。因为共插入了(j-k)个字符，故编辑次数为(j-k)次。而字符串S[1…i]经过编辑，得到了T[1…k]，编辑次数为dp[i][k]。故： dp[i][j] = dp[i][k] + (j-k)。 * 由于最后的(j-k)次是插入操作，可以讲(j-k)逐次规约到dp[i][k]中。即：dp[i][k]+(j-k)=dp[i][k+1] + (j-k-1) 规约到插入操作为1次，得到 dp[i][k]+(j-k) =dp[i][k+1] + (j-k-1) =dp[i][k+2] + (j-k-2)=… =dp[i][k+(j-k-1)] + (j-k)-(j-k-1) =dp[i][j-1] + 1。 上述的解释清晰规范，但为啥这样做呢？ 换一个角度，其实就是字符串对齐的思路。例如把字符串“ALGORITHM”，变成“ALTRUISTIC”，那么把相关字符各自对齐后，如下图所示： [](https://camo.githubusercontent.com/675036529d5495952deba4069ec4f73aaff8e6e7/687474703a2f2f696d672e626c6f672e6373646e2e6e65742f3230313430363136313134333234323936) 把图中上面的源串S[0…i] = “ALGORITHM”编辑成下面的目标串T[0…j] = “ALTRUISTIC”，我们枚举字符串S和T最后一个字符s[i]、t[j]对应四种情况：（字符-空白）（空白-字符）(字符-字符)（空白-空白）。 由于其中的（空白-空白）是多余的编辑操作。所以，事实上只存在以下3种情况： * 下面的目标串空白，即S + 字符X，T + 空白，S变成T，意味着源串要删字符 * dp[i - 1, j] + 1 * 上面的源串空白，S + 空白，T + 字符，S变成T，最后，在S的最后插入“字符”，意味着源串要添加字符 * dp[i, j - 1] + 1 * 上面源串中的的字符跟下面目标串中的字符不一样，即S + 字符X，T + 字符Y，S变成T，意味着源串要修改字符 * dp[i - 1, j - 1] + (s[i] == t[j] ? 0 : 1) 综上，可以写出简单的DP状态方程： ~~~ //dp[i,j]表示表示源串S[0…i] 和目标串T[0…j] 的最短编辑距离 dp[i, j] = min { dp[i - 1, j] + 1, dp[i, j - 1] + 1, dp[i - 1, j - 1] + (s[i] == t[j] ? 0 : 1) } //分别表示：删除1个，添加1个，替换1个（相同就不用替换）。 ~~~ 参考代码如下： ~~~ //dp[i][j]表示源串source[0-i)和目标串target[0-j)的编辑距离 int EditDistance(char *pSource, char *pTarget) { int srcLength = strlen(pSource); int targetLength = strlen(pTarget); int i, j; //边界dp[i][0] = i，dp[0][j] = j for (i = 1; i <= srcLength; ++i) { dp[i][0] = i; } for (j = 1; j <= targetLength; ++j) { dp[0][j] = j; } for (i = 1; i <= srcLength; ++i) { for (j = 1; j <= targetLength; ++j) { if (pSource[i - 1] == pTarget[j - 1]) { dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]; } else { dp[i][j] = 1 + min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]); } } } return dp[srcLength][targetLength]; } ~~~ ## [](https://github.com/julycoding/The-Art-Of-Programming-By-July/blob/master/ebook/zh/05.02.md#举一反三)举一反三 1、传统的编辑距离里面有三种操作，即增、删、改，我们现在要讨论的编辑距离只允许两种操作，即增加一个字符、删除一个字符。我们求两个字符串的这种编辑距离，即把一个字符串变成另外一个字符串的最少操作次数。假定每个字符串长度不超过1000，只有大写英文字母组成。 2、有一亿个数，输入一个数，找出与它编辑距离在3以内的数，比如输入6（0110），找出0010等数，数是32位的。 ## [](https://github.com/julycoding/The-Art-Of-Programming-By-July/blob/master/ebook/zh/05.02.md#问题扩展)问题扩展 实际上，关于这个“编辑距离”问题在搜索引擎中有着重要的作用，如搜索引擎关键字查询中拼写错误的提示，如下图所示，当你输入“[Jult](https://www.google.com.hk/search?hl=zh-CN&newwindow=1&safe=strict&site=&source=hp&q=Jult&btnK=Google+%E6%90%9C%E7%B4%A2)”后，因为没有这个单词“Jult”，所以搜索引擎猜测你可能是输入错误，进而会提示你是不是找“July”： [](https://github.com/julycoding/The-Art-Of-Programming-By-July/blob/master/ebook/images/28~29/29.7.jpg) 当然，面试官还可以继续问下去，如请问，如何设计一个比较这篇文章和上一篇文章相似性的算法？