动态规划：求最长公共子串/最长公共子序列
最后更新于：2022-04-01 16:17:34
# 最长公共子序列和最长公共子串区别
最长公共子串（Longest Common Substring）与最长公共子序列（Longest Common Subsequence）的区别： 子串要求在原字符串中是连续的，而子序列则只需保持相对顺序一致，并不要求连续。例如X = {a, Q, 1, 1}; Y = {a, 1, 1, d, f}那么，{a, 1, 1}是X和Y的最长公共子序列，但不是它们的最长公共字串。
# 一、最长公共子序列
具体的算法思想参考以下文章：
[http://blog.csdn.net/lisonglisonglisong/article/details/41548557](http://blog.csdn.net/lisonglisonglisong/article/details/41548557)
[http://blog.csdn.net/zhongkeli/article/details/8847694](http://blog.csdn.net/zhongkeli/article/details/8847694)
[
](http://blog.csdn.net/zhongkeli/article/details/8847694)
### 只求最长子序列长度
如果仅仅需要知道最长子序列的长度值，代码如下：
~~~
#include <vector>
#include <string>
#include <iostream>
#include <string.h>
#include <sstream>
using namespace std;
//最长公共子串（LCS）
//二维数组veca记录的是两个字符串Xi和Yj的LCS长度
int LCS_length(const string &str1, const string &str2, vector<vector<int> > &veca) {
int i, j;
int biggest = 0;
if (str1 == "" || str2 == "")
return 0;
for (i = 0; i <= str1.length(); i++) {
veca[i][0] = 0;
}
for (j = 0; j <= str2.length(); j++) {
veca[0][j] = 0;
}
for (i = 1; i <= str1.length(); i++) {
for (j = 1; j <= str2.length(); j++) {
if (str1[i - 1] == str2[j - 1]) {
veca[i][j] = veca[i - 1][j - 1] + 1;
}
else {
if (veca[i - 1][j] >= veca[i][j - 1])
veca[i][j] = veca[i - 1][j];
else
veca[i][j] = veca[i][j-1];
}
}
}
return veca[str1.length()][str2.length()];
}
int main() {
string input;
getline(cin, input);
stringstream ss(input);
string str1, str2;
ss >> str1;
ss >> str2;
//将veca初始化为一个二维数组,其行列值分别为str1和str2的长度加1
//二维数组veca记录的是两个字符串Xi和Yj的LCS长度
vector<vector<int> > veca(str1.length() + 1, vector<int>(str2.length() + 1));
cout << LCS_length(str1, str2, veca) << endl;
return 0;
}
~~~
结果：
动态规划解决LCS问题的时间复杂度为O(mn)，这比简单的递归实现要快多了。空间复杂度是O(mn)，因为使用了一个动态规划表。
### 要输出一个LCS的内容
和上面的程序比，只需要多一个二维数组记录在遍历中所选择的子问题的最优解即可。如下程序：
~~~
//输出最长公共子串（LCS）
//二维数组veca记录的是两个字符串Xi和Yj的LCS长度
int LCS_length(const string &str1, const string &str2,
vector<vector<int> > &veca, vector<vector<int> > &vecb) {
int i, j;
int biggest = 0;
if (str1 == "" || str2 == "")
return 0;
for (i = 0; i <= str1.length(); i++) {
veca[i][0] = 0;
}
for (j = 0; j <= str2.length(); j++) {
veca[0][j] = 0;
}
for (i = 1; i <= str1.length(); i++) {
for (j = 1; j <= str2.length(); j++) {
//如果Xi-1 == Yj-1，那么最长子序列为veca[i - 1][j - 1] + 1
//此时将vecb[i][j] = 1表明str1[i-1]是子问题LCS的一个元素
if (str1[i - 1] == str2[j - 1]) {
veca[i][j] = veca[i - 1][j - 1] + 1;
vecb[i][j] = 1;
}
else {
if (veca[i - 1][j] >= veca[i][j - 1]) {
veca[i][j] = veca[i - 1][j];
vecb[i][j] = 2;
}
else {
veca[i][j] = veca[i][j-1];
vecb[i][j] = 3;
}
}
}
}
return veca[str1.length()][str2.length()];
}
//该函数用于输出一个LCS的序列
//这里输出的顺序是先向上寻找，再向左寻找
void PrintOneLCS(vector<vector<int> > &vecb, string &str1, int i, int j) {
if (i == 0 || j == 0)
return;
if (vecb[i][j] == 1) {
PrintOneLCS(vecb, str1, i - 1, j - 1);
cout << str1[i - 1] << " ";
}
else if (vecb[i][j] == 2)
PrintOneLCS(vecb, str1, i -1, j);
else
PrintOneLCS(vecb, str1, i, j - 1);
}
int main() {
string input;
getline(cin, input);
stringstream ss(input);
string str1, str2;
ss >> str1;
ss >> str2;
//将veca初始化为一个二维数组,其行列值分别为str1和str2的长度加1
//二维数组veca记录的是两个字符串Xi和Yj的LCS长度
//二维数组vecb[i][j]记录veca[i][j]时所选择的子问题的最优解
vector<vector<int> > veca(str1.length() + 1, vector<int>(str2.length() + 1));
vector<vector<int> > vecb(str1.length() + 1, vector<int>(str2.length() + 1));
cout << LCS_length(str1, str2, veca, vecb) << endl;
PrintOneLCS(vecb, str1, str1.length(), str2.length());
return 0;
}
~~~
求一个LCS内容也可以不借助辅助二维数组vecb而是用下面小节的方法，
~~~
//该函数用于输出一个LCS的序列，使用下一小节的方法
//这里输出的顺序是先向左寻找，再向上寻找
void PrintOneLCS(string &str1, string &str2, int i, int j,
vector<vector<int> > &veca) {
string lcs_str;
while (i > 0 && j > 0) {
if (str1[i - 1] == str2[j - 1]) {
lcs_str = str1[i - 1] + lcs_str;
--i;
--j;
}
else {
//如果左边存在LCS就从左边找否则再从右边找
if (veca[i - 1][j] >= veca[i][j - 1])
--i;
else
--j;
}
}
cout << lcs_str << endl;
}
~~~
如下代码：
### 要输出所有LCS的内容
两个字符串对应的最长公共子序列不一定唯一，这个程序输出所有的LCS内容。
基本思想是：
具体参考文章：[http://blog.csdn.net/lisonglisonglisong/article/details/41596309](http://blog.csdn.net/lisonglisonglisong/article/details/41596309)
代码：
~~~
#include <vector>
#include <iomanip>
#include <set>
#include <string>
#include <map>
#include <iostream>
#include <string.h>
#include <sstream>
using namespace std;
set<string> all_lcs; //注意这里要用set去除重复的LCS
//最长公共子串（LCS）
//二维数组veca[i][j]记录的是两个字符串Xi和Yj的LCS长度
int LCS_length(const string &str1, const string &str2, vector<vector<int> > &veca) {
int i, j;
int biggest = 0;
if (str1 == "" || str2 == "")
return 0;
for (i = 0; i <= str1.length(); i++) {
veca[i][0] = 0;
}
for (j = 0; j <= str2.length(); j++) {
veca[0][j] = 0;
}
for (i = 1; i <= str1.length(); i++) {
for (j = 1; j <= str2.length(); j++) {
if (str1[i - 1] == str2[j - 1]) {
veca[i][j] = veca[i - 1][j - 1] + 1;
}
else {
if (veca[i - 1][j] >= veca[i][j - 1])
veca[i][j] = veca[i - 1][j];
else
veca[i][j] = veca[i][j-1];
}
}
}
return veca[str1.length()][str2.length()];
}
//该函数找出所有的LCS的序列，并将其存在vector中
void PrintAllLCS(string &str1, string &str2, int i, int j,
vector<vector<int> > &veca, string lcs_str) {
//注意这里形参lcs_str不可以为引用，这里需要每次调用lcs_str都重新生成一个对象
while (i > 0 && j > 0) {
if (str1[i - 1] == str2[j - 1]) {
lcs_str = str1[i - 1] + lcs_str; //逆向存放
--i;
--j;
}
else {
if (veca[i - 1][j] > veca[i][j - 1]) //向左走
--i;
else if (veca[i - 1][j] < veca[i][j - 1]) //向上走
--j;
else { //此时向上向右均为LCS的元素
PrintAllLCS(str1, str2, i - 1, j, veca, lcs_str);
PrintAllLCS(str1, str2, i, j - 1, veca, lcs_str);
return;
}
}
}
cout << " " << lcs_str << endl;
all_lcs.insert(lcs_str);
}
int main() {
string input;
getline(cin, input);
stringstream ss(input);
string str1, str2;
ss >> str1;
ss >> str2;
//将veca初始化为一个二维数组,其行列值分别为str1和str2的长度加1
//二维数组veca记录的是两个字符串Xi和Yj的LCS长度
vector<vector<int> > veca(str1.length() + 1, vector<int>(str2.length() + 1));
cout << LCS_length(str1, str2, veca) << endl;
string lcs_str;
PrintAllLCS(str1, str2, str1.length(), str2.length(), veca, lcs_str);
set<string>::iterator iter = all_lcs.begin();
while (iter != all_lcs.end()) {
cout << *iter++ << endl;
}
return 0;
}
~~~
如图所示的两个字符串共有三个LCS。
# 二、最长公共子串
**描述：**
计算两个字符串的最大公共子串（Longest Common Substring）的长度，字符不区分大小写。
**输入：**
输入两个字符串
**输出：**
输出一个整数
**样例输入：**
~~~
asdfas werasdfaswer
~~~
**样例输出：**
~~~
6
~~~
这里的**最大公共字串要求的字串是连续**的。
求字串的方法和求子序列方法类似：
当str1[i] == str2[j]时，子序列长度veca[i][j] = veca[i - 1][j - 1] + 1；只是当str1[i] ！= str2[j]时，veca[i][j]长度要为0，而不是max{veca[i - 1][j], veca[i][j - 1]}。
~~~
#include <vector>
#include <string>
#include <iostream>
#include <string.h>
#include <sstream>
using namespace std;
int LCS_length(const string &str1, const string &str2, vector<vector<int> > &veca) {
int i, j;
int biggest = 0;
if (str1 == "" || str2 == "")
return 0;
for (i = 0; i <= str1.length(); i++) {
veca[i].resize(str2.length() + 1, 0);
}
for (j = 0; j <= str2.length(); j++) {
veca[0][j] = 0;
}
for (i = 1; i <= str1.length(); i++) {
for (j = 1; j <= str2.length(); j++) {
if (str1[i - 1] == str2[j - 1]) {
veca[i][j] = veca[i - 1][j - 1] + 1;
if (veca[i][j] > biggest)
biggest = veca[i][j];
}
else
//可以看出，求最长子串和求最长子序列差别仅仅在这里
veca[i][j] = 0;
}
}
return biggest;
}
int main() {
string input;
getline(cin, input);
stringstream ss(input);
string str1;
ss >> str1;
string str2;
ss >> str2;
vector<vector<int> > veca(str1.length() + 1);
cout << LCS_length(str1, str2, veca) << endl;
return 0;
}
~~~
同样适用求最长子序列的测试数据，得到它们的公共最长子串长度为2，而它们的公共最长子序列长度为4.
# 三、动态规划的其它题目
1、硬币面值组合问题
[http://www.cnblogs.com/python27/archive/2013/09/05/3303721.html](http://www.cnblogs.com/python27/archive/2013/09/05/3303721.html)
2、[最长递增子序列](http://blog.csdn.net/u013074465/article/details/45442067)
除了动态规划，该题还有其他解法。
3、数组最大子数组和的最大值
[http://www.ahathinking.com/archives/120.html](http://www.ahathinking.com/archives/120.html)
3、[动态规划之钢条分割](http://blog.csdn.net/u013074465/article/details/44920979)
4、计算两个字符串的相似度（编程之美）
该文章原理说得比较清楚：[点击打开链接](http://www.cnblogs.com/tianchi/archive/2013/02/25/2886964.html)
这里是代码：[点击打开链接](http://blog.csdn.net/zzran/article/details/8274735)
5、求每一对顶点之间的最短路径：Floyd-Warshall算法