Lowest Common Ancestor
最后更新于：2022-04-02 01:11:24
# Lowest Common Ancestor
### Source
- lintcode: [(88) Lowest Common Ancestor](http://www.lintcode.com/en/problem/lowest-common-ancestor/)
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Given the root and two nodes in a Binary Tree. Find the lowest common ancestor(LCA) of the two nodes.
The lowest common ancestor is the node with largest depth which is the ancestor of both nodes.
Example
4
/ \
3 7
/ \
5 6
For 3 and 5, the LCA is 4.
For 5 and 6, the LCA is 7.
For 6 and 7, the LCA is 7.
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### 题解1 - 自底向上
初次接触这种题可能会没有什么思路，在没有思路的情况下我们就从简单例子开始分析！首先看看`3`和`5`，这两个节点分居根节点`4`的两侧，如果可以从子节点往父节点递推，那么他们将在根节点`4`处第一次重合；再来看看`5`和`6`，这两个都在根节点`4`的右侧，沿着父节点往上递推，他们将在节点`7`处第一次重合；最后来看看`6`和`7`，此时由于`7`是`6`的父节点，故`7`即为所求。从这三个基本例子我们可以总结出两种思路——自顶向下(从前往后递推)和自底向上(从后往前递推)。
顺着上述实例的分析，我们首先看看自底向上的思路，自底向上的实现用一句话来总结就是——如果遍历到的当前节点是 A/B 中的任意一个，那么我们就向父节点汇报此节点，否则递归到节点为空时返回空值。具体来说会有如下几种情况：
1. 当前节点不是两个节点中的任意一个，此时应判断左右子树的返回结果。
- 若左右子树均返回非空节点，那么当前节点一定是所求的根节点，将当前节点逐层向前汇报。// 两个节点分居树的两侧
- 若左右子树仅有一个子树返回非空节点，则将此非空节点向父节点汇报。// 节点仅存在于树的一侧
- 若左右子树均返回`NULL`, 则向父节点返回`NULL`. // 节点不在这棵树中
1. 当前节点即为两个节点中的一个，此时向父节点返回当前节点。
根据此递归模型容易看出应该使用中序遍历来实现。
### C++ Recursion From Bottom to Top
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/**
* Definition of TreeNode:
* class TreeNode {
* public:
* int val;
* TreeNode *left, *right;
* TreeNode(int val) {
* this->val = val;
* this->left = this->right = NULL;
* }
* }
*/
class Solution {
public:
/**
* @param root: The root of the binary search tree.
* @param A and B: two nodes in a Binary.
* @return: Return the least common ancestor(LCA) of the two nodes.
*/
TreeNode *lowestCommonAncestor(TreeNode *root, TreeNode *A, TreeNode *B) {
// return either A or B or NULL
if (NULL == root || root == A || root == B) return root;
TreeNode *left = lowestCommonAncestor(root->left, A, B);
TreeNode *right = lowestCommonAncestor(root->right, A, B);
// A and B are on both sides
if ((NULL != left) && (NULL != right)) return root;
// either left or right or NULL
return (NULL != left) ? left : right;
}
};
~~~
### 源码分析
结合例子和递归的整体思想去理解代码，在`root == A || root == B`后即层层上浮(自底向上)，直至找到最终的最小公共祖先节点。
最后一行`return (NULL != left) ? left : right;`将非空的左右子树节点和空值都包含在内了，十分精炼！[leetcode](#)
****> 细心的你也许会发现，其实题解的分析漏掉了一种情况，即树中可能只含有 A/B 中的一个节点！这种情况应该返回空值，但上述实现均返回非空节点。重复节点就不考虑了，太复杂了...
### 题解 - 自底向上(计数器)
为了解决上述方法可能导致误判的情况，我们可以对返回结果添加计数器来解决。**由于此计数器的值只能由子树向上递推，故不能再使用中序遍历，而应该改用后序遍历。**
定义`pair result(node, counter)`表示遍历到某节点时的返回结果，返回的`node`表示LCA 路径中的可能的最小节点，相应的计数器`counter`则表示目前和`A`或者`B`匹配的节点数，若计数器为2，则表示已匹配过两次，该节点即为所求，若只匹配过一次，还需进一步向上递推。表述地可能比较模糊，还是看看代码吧。
### C++ Post-order(counter)
~~~
/**
* Definition of TreeNode:
* class TreeNode {
* public:
* int val;
* TreeNode *left, *right;
* TreeNode(int val) {
* this->val = val;
* this->left = this->right = NULL;
* }
* }
*/
class Solution {
public:
/**
* @param root: The root of the binary search tree.
* @param A and B: two nodes in a Binary.
* @return: Return the least common ancestor(LCA) of the two nodes.
*/
TreeNode *lowestCommonAncestor(TreeNode *root, TreeNode *A, TreeNode *B) {
if ((NULL == A) || (NULL == B)) return NULL;
pair result = helper(root, A, B);
if (A != B) {
return (2 == result.second) ? result.first : NULL;
} else {
return (1 == result.second) ? result.first : NULL;
}
}
private:
pair helper(TreeNode *root, TreeNode *A, TreeNode *B) {
TreeNode * node = NULL;
if (NULL == root) return make_pair(node, 0);
pair left = helper(root->left, A, B);
pair right = helper(root->right, A, B);
// return either A or B
int count = max(left.second, right.second);
if (A == root || B == root) return make_pair(root, ++count);
// A and B are on both sides
if (NULL != left.first && NULL != right.first) return make_pair(root, 2);
// return either left or right or NULL
return (NULL != left.first) ? left : right;
}
};
~~~
### 源码分析
在`A == B`时，计数器返回1的节点即为我们需要的节点，否则只取返回2的节点，如此便保证了该方法的正确性。对这种实现还有问题的在下面评论吧。
### Reference
- leetcode
> .
[Lowest Common Ancestor of a Binary Tree Part I | LeetCode](http://articles.leetcode.com/2011/07/lowest-common-ancestor-of-a-binary-tree-part-i.html)
> - 清晰易懂的题解和实现。
[ ↩](# "Jump back to footnote [leetcode] in the text.")
- [Lowest Common Ancestor of a Binary Tree Part II | LeetCode](http://articles.leetcode.com/2011/07/lowest-common-ancestor-of-a-binary-tree-part-ii.html) - 如果存在指向父节点的指针，我们能否有更好的解决方案？
- [Lowest Common Ancestor of a Binary Search Tree (BST) | LeetCode](http://articles.leetcode.com/2011/07/lowest-common-ancestor-of-a-binary-search-tree.html) - 二叉搜索树中求最小公共祖先。
- [Lowest Common Ancestor | 九章算法](http://www.jiuzhang.com/solutions/lowest-common-ancestor/) - 第一种和第二种方法可以在知道父节点时使用，但第二种 Divide and Conquer 才是本题需要的思想（第二种解法可以轻易改成不需要 parent 的指针的）。
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