Quick Sort
最后更新于：2022-04-02 01:06:51
# Quick Sort - 快速排序
核心：快排是一种采用分治思想的排序算法，大致分为三个步骤。
1. 定基准——首先随机选择一个元素最为基准
1. 划分区——所有比基准小的元素置于基准左侧，比基准大的元素置于右侧
1. 递归调用——递归地调用此切分过程
### out-in-place - 非原地快排
容易实现和理解的一个方法是采用递归，使用 Python 的 list comprehension 实现如下所示：
~~~
#!/usr/bin/env python
def qsort1(alist):
print(alist)
if len(alist) <= 1:
return alist
else:
pivot = alist[0]
return qsort1([x for x in alist[1:] if x < pivot]) + \
[pivot] + \
qsort1([x for x in alist[1:] if x >= pivot])
unsortedArray = [6, 5, 3, 1, 8, 7, 2, 4]
print(qsort1(unsortedArray))
~~~
输出如下所示：
~~~
[6, 5, 3, 1, 8, 7, 2, 4]
[5, 3, 1, 2, 4]
[3, 1, 2, 4]
[1, 2]
[]
[2]
[4]
[]
[8, 7]
[7]
[]
[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
~~~
『递归 + 非原地排序』的实现虽然简单易懂，但是如此一来『快速排序』便不再是最快的通用排序算法了，因为递归调用过程中非原地排序需要生成新数组，空间复杂度颇高。list comprehension 大法虽然好写，但是用在『快速排序』算法上就不是那么可取了。
### 复杂度分析
在最好情况下，快速排序的基准元素正好是整个数组的中位数，可以近似为二分，那么最好情况下递归的层数为 logn\log nlogn, 咋看一下每一层的元素个数都是 nnn, 那么空间复杂度为 O(n)O(n)O(n) 无疑了，不过这只答对了一半，从结论上来看是对的，但分析方法是错的。
首先来看看什么叫空间复杂度——简单来讲可以认为是程序在运行过程中所占用的存储空间大小。那么对于递归的 out-in-place 调用而言，排除函数调用等栈空间，**最好情况下，每往下递归调用一层，所需要的存储空间是上一层中的一半。完成最底层的调用后即向上返回执行出栈操作，故并不需要保存每层所有元素的值。**所以需要的总的存储空间就是∑i=0n2i=2n\sum _{i=0} ^{} \frac {n}{2^i} = 2n∑i=02in=2n
不是特别理解的可以结合下图的非严格分析和上面 Python 的代码，递归调用的第一层保存8个元素的值，那么第二层调用时实际需要保存的其实仅为4个元素，逐层往下递归，而不是自左向右保存每一层的所有元素。
那么在最坏情况下 out-in-place 需要耗费多少额外空间呢？最坏情况下第 iii 层需要 i−1i - 1i−1 次交换，故总的空间复杂度：
∑i=0n(n−i+1)=O(n2)\sum_{i=0}^n (n-i+1) = O(n^2)∑i=0n(n−i+1)=O(n2)
### in-place - 原地快排
### one index for partition
先来看一种简单的 in-place 实现，仍然以`[6, 5, 3, 1, 8, 7, 2, 4]`为例，结合下图进行分析。以下标 lll 和 uuu 表示数组待排序部分的下界(lower bound)和上界(upper bound)，下标 mmm 表示遍历到数组第 iii 个元素时当前 partition 的索引，基准元素为 ttt, 即图中的 target.
在遍历到第 iii 个元素时，x[i]x[i]x[i] 有两种可能，第一种是 x[i]≥tx[i] \geq tx[i]≥t, iii 自增往后遍历；第二种是 x[i]= u`, 即索引相等或者交叉时退出。使用 Python 的实现如下所示：
### Python
~~~
#!/usr/bin/env python
def qsort2(alist, l, u):
print(alist)
if l >= u:
return
m = l
for i in xrange(l + 1, u + 1):
if alist[i] < alist[l]:
m += 1
alist[m], alist[i] = alist[i], alist[m]
# swap between m and l after partition, important!
alist[m], alist[l] = alist[l], alist[m]
qsort2(alist, l, m - 1)
qsort2(alist, m + 1, u)
unsortedArray = [6, 5, 3, 1, 8, 7, 2, 4]
print(qsort2(unsortedArray, 0, len(unsortedArray) - 1))
~~~
### Java
~~~
public class Sort {
public static void main(String[] args) {
int unsortedArray[] = new int[]{6, 5, 3, 1, 8, 7, 2, 4};
quickSort(unsortedArray);
System.out.println("After sort: ");
for (int item : unsortedArray) {
System.out.print(item + " ");
}
}
public static void quickSort1(int[] array, int l, int u) {
for (int item : array) {
System.out.print(item + " ");
}
System.out.println();
if (l >= u) return;
int m = l;
for (int i = l + 1; i <= u; i++) {
if (array[i] < array[l]) {
m += 1;
int temp = array[m];
array[m] = array[i];
array[i] = temp;
}
}
// swap between array[m] and array[l]
// put pivot in the mid
int temp = array[m];
array[m] = array[l];
array[l] = temp;
quickSort1(array, l, m - 1);
quickSort1(array, m + 1, u);
}
public static void quickSort(int[] array) {
quickSort1(array, 0, array.length - 1);
}
}
~~~
容易出错的地方在于当前 partition 结束时未将 iii 和 mmm 交换。比较`alist[i]`和`alist[l]`时只能使用`<`而不是`<=`! 因为只有取`<`才能进入收敛条件，`<=`则可能会出现死循环，因为在`=`时第一个元素可能保持不变进而产生死循环。
相应的结果输出为：
~~~
[6, 5, 3, 1, 8, 7, 2, 4]
[4, 5, 3, 1, 2, 6, 8, 7]
[2, 3, 1, 4, 5, 6, 8, 7]
[1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 7]
[1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 7]
[1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 7]
[1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 7]
[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
~~~
### Two-way partitioning
对于仅使用一个索引进行 partition 操作的快排对于随机分布数列的效果还是不错的，但若数组本身就已经有序或者相等的情况下，每次划分仅能确定一个元素的最终位置，故最坏情况下的时间复杂度变为 O(n2)O(n^2)O(n2). 那么有什么办法尽可能避免这种最坏情况吗？聪明的人类总是能找到更好地解决办法——使用两个索引分别向右向左进行 partition.
先来一张动图看看使用两个索引进行 partition 的过程。
1. 选中`3`作为基准
1. `lo`指针指向元素`6`, `hi`指针指向`4`, 移动`lo`直至其指向的元素大于等于`3`, 移动`hi`直至其指向的元素小于`3`。找到后交换`lo`和`hi`指向的元素——交换元素`6`和`2`。
1. `lo`递增，`hi`递减，重复步骤2，此时`lo`指向元素为`5`, `hi`指向元素为`1`. 交换元素。
1. `lo`递增，`hi`递减，发现其指向元素相同，此轮划分结束。递归排序元素`3`左右两边的元素。
对上述过程进行适当的抽象：
1. 下标 iii 和 jjj 初始化为待排序数组的两端。
1. 基准元素设置为数组的第一个元素。
1. 执行 partition 操作，大循环内包含两个内循环：
- 左侧内循环自增 iii, 直到遇到**不小于**基准元素的值为止。
- 右侧内循环自减 jjj, 直到遇到**小于**基准元素的值为止。
1. 大循环测试两个下标是否相等或交叉，交换其值。
这样一来对于数组元素均相等的情形下，每次 partition 恰好在中间元素，故共递归调用 logn\log nlogn 次，每层递归调用进行 partition 操作的比较次数总和近似为 nnn. 故总计需 nlognn \log nnlogn 次比较。[programming_pearls](#)
### Python
~~~
#!/usr/bin/env python
def qsort3(alist, l, u):
print(alist)
if l >= u:
return
t = alist[l]
i = l + 1
j = u
while True:
while i <= u and alist[i] < t:
i += 1
while alist[j] > t:
j -= 1
if i > j:
break
# swap after make sure i > j
alist[i], alist[j] = alist[j], alist[i]
# do not forget swap l and j
alist[l], alist[j] = alist[j], alist[l]
qsort3(alist, l, j - 1)
qsort3(alist, j + 1, u)
unsortedArray = [6, 5, 3, 1, 8, 7, 2, 4]
print(qsort3(unsortedArray, 0, len(unsortedArray) - 1))
~~~
### Java
~~~
public class Sort {
public static void main(String[] args) {
int unsortedArray[] = new int[]{6, 5, 3, 1, 8, 7, 2, 4};
quickSort(unsortedArray);
System.out.println("After sort: ");
for (int item : unsortedArray) {
System.out.print(item + " ");
}
}
public static void quickSort2(int[] array, int l, int u) {
for (int item : array) {
System.out.print(item + " ");
}
System.out.println();
if (l >= u) return;
int pivot = array[l];
int left = l + 1;
int right = u;
while (left <= right) {
while (left <= right && array[left] < pivot) {
left++;
}
while (left <= right && array[right] >= pivot) {
right--;
}
if (left > right) break;
// swap array[left] with array[right] while left <= right
int temp = array[left];
array[left] = array[right];
array[right] = temp;
}
/* swap the smaller with pivot */
int temp = array[right];
array[right] = array[l];
array[l] = temp;
quickSort2(array, l, right - 1);
quickSort2(array, right + 1, u);
}
public static void quickSort(int[] array) {
quickSort2(array, 0, array.length - 1);
}
}
~~~
相应的输出为：
~~~
[6, 5, 3, 1, 8, 7, 2, 4]
[2, 5, 3, 1, 4, 6, 7, 8]
[1, 2, 3, 5, 4, 6, 7, 8]
[1, 2, 3, 5, 4, 6, 7, 8]
[1, 2, 3, 5, 4, 6, 7, 8]
[1, 2, 3, 5, 4, 6, 7, 8]
[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
~~~
从以上3种快排的实现我们可以发现其与『归并排序』的区别主要有如下两点：
1. 归并排序将数组分成两个子数组分别排序，并将有序的子数组归并以将整个数组排序。递归调用发生在处理整个数组之前。
1. 快速排序将一个数组分成两个子数组并对这两个子数组独立地排序，两个子数组有序时整个数组也就有序了。递归调用发生在处理整个数组之后。
Robert Sedgewick 在其网站上对 [Quicksort](http://algs4.cs.princeton.edu/23quicksort/) 做了较为完整的介绍，建议去围观下。
### Reference
- [快速排序 - 维基百科，自由的百科全书](http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%BF%AB%E9%80%9F%E6%8E%92%E5%BA%8F)
- [Quicksort | Robert Sedgewick](http://algs4.cs.princeton.edu/23quicksort/)
- Programming Pearls Column 11 Sorting - 深入探讨了插入排序和快速排序
- [Quicksort Analysis](#)
- programming_pearls
> . Programming Pearls(第二版修订版) 一书中第11章排序中注明需要
nlog2nn\log2nnlog2n
> 次比较，翻译有误？
[ ↩](# "Jump back to footnote [programming_pearls] in the text.")
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