Median
最后更新于：2022-04-02 01:08:40
# Median
### Source
- lintcode: [(80) Median](http://www.lintcode.com/en/problem/median/)
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Given a unsorted array with integers, find the median of it.
A median is the middle number of the array after it is sorted.
If there are even numbers in the array, return the N/2-th number after sorted.
Example
Given [4, 5, 1, 2, 3], return 3
Given [7, 9, 4, 5], return 5
Challenge
O(n) time.
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### 题解
寻找未排序数组的中位数，简单粗暴的方法是先排序后输出中位数索引处的数，但是基于比较的排序算法的时间复杂度为 O(nlogn)O(n \log n)O(nlogn), 不符合题目要求。线性时间复杂度的排序算法常见有计数排序、桶排序和基数排序，这三种排序方法的空间复杂度均较高，且依赖于输入数据特征（数据分布在有限的区间内），用在这里并不是比较好的解法。
由于这里仅需要找出中位数，即找出数组中前半个长度的较大的数，不需要进行完整的排序，说到这你是不是想到了快速排序了呢？快排的核心思想就是以基准为界将原数组划分为左小右大两个部分，用在这十分合适。快排的实现见 [Quick Sort](http://algorithm.yuanbin.me/zh-cn/basics_sorting/quick_sort.html), 由于调用一次快排后基准元素的最终位置是知道的，故递归的终止条件即为当基准元素的位置(索引)满足中位数的条件时(左半部分长度为原数组长度一半)即返回最终结果。由于函数原型中左右最小索引并不总是原数组的最小最大，故需要引入相对位置(长度)也作为其中之一的参数。若左半部分长度偏大，则下一次递归排除右半部分，反之则排除左半部分。
### Python
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class Solution:
"""
@param nums: A list of integers.
@return: An integer denotes the middle number of the array.
"""
def median(self, nums):
if not nums:
return -1
return self.helper(nums, 0, len(nums) - 1, (1 + len(nums)) / 2)
def helper(self, nums, l, u, size):
if l >= u:
return nums[u]
m = l
for i in xrange(l + 1, u + 1):
if nums[i] < nums[l]:
m += 1
nums[m], nums[i] = nums[i], nums[m]
# swap between m and l after partition, important!
nums[m], nums[l] = nums[l], nums[m]
if m - l + 1 == size:
return nums[m]
elif m - l + 1 > size:
return self.helper(nums, l, m - 1, size)
else:
return self.helper(nums, m + 1, u, size - (m - l + 1))
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### C++
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class Solution {
public:
/**
* @param nums: A list of integers.
* @return: An integer denotes the middle number of the array.
*/
int median(vector &nums) {
if (nums.empty()) return 0;
int len = nums.size();
return helper(nums, 0, len - 1, (len + 1) / 2);
}
private:
int helper(vector &nums, int l, int u, int size) {
// if (l >= u) return nums[u];
int m = l; // index m to track pivot
for (int i = l + 1; i <= u; ++i) {
if (nums[i] < nums[l]) {
++m;
int temp = nums[i];
nums[i] = nums[m];
nums[m] = temp;
}
}
// swap with the pivot
int temp = nums[m];
nums[m] = nums[l];
nums[l] = temp;
if (m - l + 1 == size) {
return nums[m];
} else if (m - l + 1 > size) {
return helper(nums, l, m - 1, size);
} else {
return helper(nums, m + 1, u, size - (m - l + 1));
}
}
};
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### Java
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public class Solution {
/**
* @param nums: A list of integers.
* @return: An integer denotes the middle number of the array.
*/
public int median(int[] nums) {
if (nums == null) return -1;
return helper(nums, 0, nums.length - 1, (nums.length + 1) / 2);
}
// l: lower, u: upper, m: median
private int helper(int[] nums, int l, int u, int size) {
if (l >= u) return nums[u];
int m = l;
for (int i = l + 1; i <= u; i++) {
if (nums[i] < nums[l]) {
m++;
int temp = nums[m];
nums[m] = nums[i];
nums[i] = temp;
}
}
// swap between array[m] and array[l]
// put pivot in the mid
int temp = nums[m];
nums[m] = nums[l];
nums[l] = temp;
if (m - l + 1 == size) {
return nums[m];
} else if (m - l + 1 > size) {
return helper(nums, l, m - 1, size);
} else {
return helper(nums, m + 1, u, size - (m - l + 1));
}
}
}
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### 源码分析
以相对距离(长度)进行理解，递归终止步的条件一直保持不变(比较左半部分的长度)。
以题目中给出的样例进行分析，`size` 传入的值可为`(len(nums) + 1) / 2`, 终止条件为`m - l + 1 == size`, 含义为基准元素到索引为`l`的元素之间(左半部分)的长度(含)与`(len(nums) + 1) / 2`相等。若`m - l + 1 > size`, 即左半部分长度偏大，此时递归终止条件并未变化，因为`l`的值在下一次递归调用时并未改变，所以仍保持为`size`; 若`m - l + 1 < size`, 左半部分长度偏小，下一次递归调用右半部分，由于此时左半部分的索引值已变化，故`size`应改为下一次在右半部分数组中的终止条件`size - (m - l + 1)`, 含义为原长度`size`减去左半部分数组的长度`m - l + 1`.
### 复杂度分析
和快排类似，这里也有最好情况与最坏情况，平均情况下，索引`m`每次都处于中央位置，即每次递归后需要遍历的数组元素个数减半，故总的时间复杂度为 O(n(1+1/2+1/4+...))=O(2n)O(n (1 + 1/2 + 1/4 + ...)) = O(2n)O(n(1+1/2+1/4+...))=O(2n), 最坏情况下为平方。使用了临时变量，空间复杂度为 O(1)O(1)O(1), 满足题目要求。
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