Factorial Trailing Zeroes
最后更新于：2022-04-02 01:09:35
# Factorial Trailing Zeroes
### Source
- leetcode: [Factorial Trailing Zeroes | LeetCode OJ](https://leetcode.com/problems/factorial-trailing-zeroes/)
- lintcode: [(2) Trailing Zeros](http://www.lintcode.com/en/problem/trailing-zeros/)
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Write an algorithm which computes the number of trailing zeros in n factorial.
Example
11! = 39916800, so the out should be 2
Challenge
O(log N) time
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### 题解1 - Iterative
找阶乘数中末尾的连零数量，容易想到的是找相乘能为10的整数倍的数，如 2×52 \times 52×5, 1×101 \times 101×10 等，遥想当初做阿里笔试题时遇到过类似的题，当时想着算算5和10的个数就好了，可万万没想到啊，25可以变为两个5相乘！真是蠢死了... 根据数论里面的知识，任何正整数都可以表示为它的质因数的乘积[wikipedia](#)。所以比较准确的思路应该是计算质因数5和2的个数，取小的即可。质因数2的个数显然要大于5的个数，故只需要计算给定阶乘数中质因数中5的个数即可。原题的问题即转化为求阶乘数中质因数5的个数，首先可以试着分析下100以内的数，再试试100以上的数，聪明的你一定想到了可以使用求余求模等方法 :)
### Python
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class Solution:
# @param {integer} n
# @return {integer}
def trailingZeroes(self, n):
if n < 0:
return -1
count = 0
while n > 0:
n /= 5
count += n
return count
~~~
### C++
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class Solution {
public:
int trailingZeroes(int n) {
if (n < 0) {
return -1;
}
int count = 0;
for (; n > 0; n /= 5) {
count += (n / 5);
}
return count;
}
};
~~~
### Java
~~~
public class Solution {
public int trailingZeroes(int n) {
if (n < 0) {
return -1;
}
int count = 0;
for (; n > 0; n /= 5) {
count += (n / 5);
}
return count;
}
}
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### 源码分析
1. 异常处理，小于0的数返回-1.
1. 先计算5的正整数幂都有哪些，不断使用 n / 5 即可知质因数5的个数。
1. 在循环时使用 `n /= 5` 而不是 `i *= 5`, 可有效防止溢出。
****> lintcode 和 leetcode 上的方法名不一样，在两个 OJ 上分别提交的时候稍微注意下。
### 复杂度分析
关键在于`n /= 5`执行的次数，时间复杂度 log5n\log_5 nlog5n，使用了`count`作为返回值，空间复杂度 O(1)O(1)O(1).
### 题解2 - Recursive
可以使用迭代处理的程序往往用递归，而且往往更为优雅。递归的终止条件为`n <= 0`.
### Python
~~~
class Solution:
# @param {integer} n
# @return {integer}
def trailingZeroes(self, n):
if n == 0:
return 0
elif n < 0:
return -1
else:
return n / 5 + self.trailingZeroes(n / 5)
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### C++
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class Solution {
public:
int trailingZeroes(int n) {
if (n == 0) {
return 0;
} else if (n < 0) {
return -1;
} else {
return n / 5 + trailingZeroes(n / 5);
}
}
};
~~~
### Java
~~~
public class Solution {
public int trailingZeroes(int n) {
if (n == 0) {
return 0;
} else if (n < 0) {
return -1;
} else {
return n / 5 + trailingZeroes(n / 5);
}
}
}
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### 源码分析
这里将负数输入视为异常，返回-1而不是0. 注意使用递归时务必注意收敛和终止条件的返回值。这里递归层数最多不超过 log5n\log_5 nlog5n, 因此效率还是比较高的。
### 复杂度分析
递归层数最大为 log5n\log_5 nlog5n, 返回值均在栈上，可以认为没有使用辅助的堆空间。
### Reference
- wikipedia
> .
[Prime factor - Wikipedia, the free encyclopedia](http://en.wikipedia.org/wiki/Prime_factor)[ ↩](# "Jump back to footnote [wikipedia] in the text.")
- [Count trailing zeroes in factorial of a number - GeeksforGeeks](http://www.geeksforgeeks.org/count-trailing-zeroes-factorial-number/)
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