Permutation Index
最后更新于：2022-04-02 01:12:17
# Permutation Index
### Source
- lintcode: [(197) Permutation Index](http://www.lintcode.com/en/problem/permutation-index/)
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Given a permutation which contains no repeated number,
find its index in all the permutations of these numbers,
which are ordered in lexicographical order. The index begins at 1.
Example
Given [1,2,4], return 1.
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### 题解
做过 next permutation 系列题的话自然能想到不断迭代直至最后一个，最后返回计数器的值即可。这种方法理论上自然是可行的，但是最坏情况下时间复杂度为 O(n!)O(n!)O(n!), 显然是不能接受的。由于这道题只是列出某给定 permutation 的相对顺序(index), 故我们可从 permutation 的特点出发进行分析。
以序列`1, 2, 4`为例，其不同的排列共有 `3!=6` 种，以排列`[2, 4, 1]`为例，若将1置于排列的第一位，后面的排列则有 `2!=2` 种。将2置于排列的第一位，由于`[2, 4, 1]`的第二位4在1, 2, 4中为第3大数，故第二位可置1或者2，那么相应的排列共有 `2 * 1! = 2`种，最后一位1为最小的数，故比其小的排列为0。综上，可参考我们常用的十进制和二进制的转换，对于`[2, 4, 1]`, 可总结出其排列的`index`为`2! * (2 - 1) + 1! * (3 - 1) + 0! * (1 - 1) + 1`.
以上分析看似正确无误，实则有个关键的漏洞，在排定第一个数2后，第二位数只可为1或者4，而无法为2, 故在计算最终的 index 时需要动态计算某个数的相对大小。按照从低位到高位进行计算，我们可通过两重循环得出到某个索引处值的相对大小。
### Python
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class Solution:
# @param {int[]} A an integer array
# @return {long} a long integer
def permutationIndex(self, A):
if A is None or len(A) == 0:
return 0
index = 1
factor = 1
for i in xrange(len(A) - 1, -1, -1):
rank = 0
for j in xrange(i + 1, len(A)):
if A[i] > A[j]:
rank += 1
index += rank * factor
factor *= (len(A) - i)
return index
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### C++
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class Solution {
public:
/**
* @param A an integer array
* @return a long integer
*/
long long permutationIndex(vector& A) {
if (A.empty()) return 0;
long long index = 1;
long long factor = 1;
for (int i = A.size() - 1; i >= 0; --i) {
int rank = 0;
for (int j = i + 1; j < A.size(); ++j) {
if (A[i] > A[j]) ++rank;
}
index += rank * factor;
factor *= (A.size() - i);
}
return index;
}
};
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### Java
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public class Solution {
/**
* @param A an integer array
* @return a long integer
*/
public long permutationIndex(int[] A) {
if (A == null || A.length == 0) return 0;
long index = 1;
long factor = 1;
for (int i = A.length - 1; i >= 0; i--) {
int rank = 0;
for (int j = i + 1; j < A.length; j++) {
if (A[i] > A[j]) rank++;
}
index += rank * factor;
factor *= (A.length - i);
}
return index;
}
}
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### 源码分析
注意 index 和 factor 的初始化值，rank 的值每次计算时都需要重新置零，index 先自增，factor 后自乘求阶乘。
### 复杂度分析
双重 for 循环，时间复杂度为 O(n2)O(n^2)O(n2). 使用了部分额外空间，空间复杂度 O(1)O(1)O(1).
### Reference
- [Permutation Index](http://www.geekviewpoint.com/java/numbers/permutation_index)
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