Knapsack
最后更新于：2022-04-02 01:07:17
# Knapsack - 背包问题
在一次抢珠宝店的过程中，抢劫犯只能抢走以下三种珠宝，其重量和价值如下表所述。
| Item(jewellery) | Weight | Value |
|-----|-----|-----|
| 1 | 6 | 23 |
| 2 | 3 | 13 |
| 3 | 4 | 11 |
抢劫犯这次过来光顾珠宝店只带了一个最多只能承重17 kg的粉红色小包，于是问题来了，怎样搭配这些不同重量不同价值的珠宝才能不虚此行呢？哎，这年头抢劫也不容易啊...
用数学语言来描述这个问题就是：背包最多只能承重 WWW kg, 有 nnn 种珠宝可供选择，这 nnn 种珠宝的重量分别为 ω1,⋯,ωn\omega_1,\cdots,\omega_nω1,⋯,ωn, 相应的价值为 v1,⋯,vnv_1,\cdots,v_nv1,⋯,vn. 问如何选择这些珠宝使得放进包里的珠宝价值最大化？
### Knapsack with repetition - 物品重复可用的背包问题
由于这类背包问题中，同一物品可以被多次选择，因此称为Knapsack with repetition, 又称Unbounded knapsack problem(无界背包问题).
动态规划是解决背包问题的有力武器，而在动态规划中，主要的问题之一就是——状态(子问题)是什么？在本题中我们可以从两个方面对原始问题进行化大为小：要么是是更小的背包容量 ω≤W\omega \leq Wω≤W, 要么尝试更少的珠宝数目(如珠宝 1,2,⋯,j, for j≤n1, 2, \cdots , j, ~for~ j \leq n1,2,⋯,j, for j≤n). 这两个状态(子问题)究竟哪个对于解题更为方便，还需进一步论证——能否根据状态(子问题)很方便地写出状态转移方程。
先来看看第一种状态：**在背包容量为 ω\omegaω 时抢劫犯所能获得的最优值为 K(ω)K(\omega)K(ω).** 对应此状态的状态转移方程并不是那么直观，先从 K(ω)K(\omega)K(ω) 所包含的信息出发，K(ω)>0K(\omega) > 0K(ω)>0 时，背包中必然含有某件值钱的珠宝，不妨假设最优值 K(ω)K(\omega)K(ω) 包含某珠宝 iii, 那么将珠宝 iii 从背包中移除后，背包中剩余珠宝的价值加上珠宝 iii 的价值即为 K(ω)K(\omega)K(ω). 哪尼？这不就是个天然的状态转移方程么？抢劫犯灵机一动，立马想出了如下状态转移方程：K(ω)=F(ω−ωi)+vi (ωi∈Ω)K(\omega) = F(\omega - \omega_i) + v_i ~(\omega_i \in \Omega)K(ω)=F(ω−ωi)+vi (ωi∈Ω)
其中 F(ω−ωi)F(\omega - \omega_i)F(ω−ωi) 为拿出珠宝 iii 后的价值映射函数(用人话来说就是把粉红色小包里剩下的珠宝价值加起来)，取出来的珠宝重量 ωi<ω\omega_i < \omegaωi<ω(总不能取出大于背包重量的珠宝吧...), Ω\OmegaΩ 即为 K(ω)K(\omega)K(ω) 中 ωi\omega_iωi 的所有可能取值。想了想好像哪里不对劲，K(ω)K(\omega)K(ω) 的转移关系没鼓捣出来，反而新添了个 F(ω−ωi)F(\omega - \omega_i)F(ω−ωi), 真是旧爱未了又添新欢... 别急，再仔细瞅瞅以上等式两端，拿出珠宝 iii 后，其价值 viv_ivi 就可以认为是一个定值了，故要想 K(ω)K(\omega)K(ω) 为最大值，F(ω−ωi)F(\omega - \omega_i)F(ω−ωi) 也理应是背包容量为 ω−ωi\omega - \omega_iω−ωi 时的包内珠宝的最大价值，如若不是，则必然存在 F(ω−ωi) j`且大于之前的`dp[i][j]`, 这还只是充分条件，因为有可能被后面的元素代替。保险起见，我们需要跟踪所有可能满足条件的项，然后反向计算有可能满足条件的元素，有可能最终输出不止一项。
### Java
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import java.util.*;
public class Backpack {
// 01 backpack with small datasets(O(nW), W is small)
public static int backpack(int W, int[] w, int[] v, boolean[] itemTake) {
int N = w.length;
int[][] dp = new int[N + 1][W + 1];
boolean[][] matrix = new boolean[N + 1][W + 1];
for (int i = 0; i < N; i++) {
for (int j = 0; j <= W; j++) {
if (w[i] > j) {
// backpack cannot hold w[i]
dp[i + 1][j] = dp[i][j];
} else {
dp[i + 1][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i][j - w[i]] + v[i]);
// pick item i and get value j
matrix[i][j] = (dp[i][j - w[i]] + v[i] > dp[i][j]);
}
}
}
// determine which items to take
for (int i = N - 1, j = W; i >= 0; i--) {
if (matrix[i][j]) {
itemTake[i] = true;
j -= w[i];
} else {
itemTake[i] = false;
}
}
return dp[N][W];
}
// 01 backpack with big datasets(O(n\sigma{v}), W is very big)
public static int backpack2(int W, int[] w, int[] v) {
int N = w.length;
// sum of value array
int V = 0;
for (int i : v) {
V += i;
}
// initialize
int[][] dp = new int[N + 1][V + 1];
for (int[] i : dp) {
// should avoid overflow for dp[i][j - v[i]] + w[i]
Arrays.fill(i, Integer.MAX_VALUE >> 1);
}
dp[0][0] = 0;
for (int i = 0; i < N; i++) {
for (int j = 0; j <= V; j++) {
if (v[i] > j) {
// value[i] > j
dp[i + 1][j] = dp[i][j];
} else {
// should avoid overflow for dp[i][j - v[i]] + w[i]
dp[i + 1][j] = Math.min(dp[i][j], dp[i][j - v[i]] + w[i]);
}
}
}
// search for the largest i dp[N][i] <= W
for (int i = V; i >= 0; i--) {
// if (dp[N][i] <= W) return i;
if (dp[N][i] <= W) return i;
}
return 0;
}
// repeated backpack
public static int backpack3(int W, int[] w, int[] v) {
int N = w.length;
int[][] dp = new int[N + 1][W + 1];
for (int i = 0; i < N; i++) {
for (int j = 0; j <= W; j++) {
if (w[i] > j) {
// backpack cannot hold w[i]
dp[i + 1][j] = dp[i][j];
} else {
dp[i + 1][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i + 1][j - w[i]] + v[i]);
}
}
}
return dp[N][W];
}
public static void main(String[] args) {
int[] w1 = new int[]{2, 1, 3, 2};
int[] v1 = new int[]{3, 2, 4, 2};
int W1 = 5;
boolean[] itemTake = new boolean[w1.length + 1];
System.out.println("Testcase for 01 backpack.");
int bp1 = backpack(W1, w1, v1, itemTake); // bp1 should be 7
System.out.println("Maximum value: " + bp1);
for (int i = 0; i < itemTake.length; i++) {
if (itemTake[i]) {
System.out.println("item " + i + ", weight " + w1[i] + ", value " + v1[i]);
}
}
System.out.println("Testcase for 01 backpack with large W.");
int bp2 = backpack2(W1, w1, v1); // bp2 should be 7
System.out.println("Maximum value: " + bp2);
int[] w3 = new int[]{3, 4, 2};
int[] v3 = new int[]{4, 5, 3};
int W3 = 7;
System.out.println("Testcase for repeated backpack.");
int bp3 = backpack3(W3, w3, v3); // bp3 should be 10
System.out.println("Maximum value: " + bp3);
}
}
~~~
### Reference
- 《挑战程序设计竞赛》第二章
- Chapter 6.4 Knapsack *Algorithm - S. Dasgupta*
- [0019算法笔记——【动态规划】0-1背包问题 - liufeng_king的专栏](http://blog.csdn.net/liufeng_king/article/details/8683136)
- [崔添翼 § 翼若垂天之云 › 《背包问题九讲》2.0 alpha1](http://cuitianyi.com/blog/%E3%80%8A%E8%83%8C%E5%8C%85%E9%97%AE%E9%A2%98%E4%B9%9D%E8%AE%B2%E3%80%8B2-0-alpha1/)
- [Knapsack.java](http://introcs.cs.princeton.edu/java/96optimization/Knapsack.java.html)
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