矩阵运算

[TOC] ## 矩阵 个矩形的数组,按照行(row)、列排列( column),里面可以是数字符号或者表达式 通用形式:  ### 加减法 具有相同size的矩阵可以做加(减)法运算 加法 `$ \begin{bmatrix}1,2,3\\4,5,6\\7,8,9 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1,2,3\\6,5,4\\9,8,7 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1+1,2+2,3+3 \\ 6+4,5+5,4+6\\7+9,8+8,9+7\\ \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 2,4,5\\10,10,10\\16,16,16 \end{bmatrix} $` 减法 `$ \begin{bmatrix}1,2,3\\4,5,6\\7,8,9 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix}1,2,3\\6,5,4\\9,8,7 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1-1,2-2,3-3 \\ 4-6,5-5,6-4\\7-9,8-8,9-7\\ \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 0,0,0\\-2,0,2\\-2,0,2 \end{bmatrix} $` ### 乘以常数 `$ 100\times\begin{bmatrix} 1,2,3\\4,5,6 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 100*1,100*2,100*3\\100*3,100*5,100*6\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}100,200,300\\400,500,600 \end{bmatrix} $` ### 矩阵转置( transpose)后行列交换 `$ \begin{bmatrix} 1,2,3 \\ 4,5,6 \end{bmatrix}^{T} =\begin{bmatrix} 1,4 \\ 2,5 \\ 3,6\end{bmatrix} $` ### 矩阵相乘 - 一个`m*n`的矩阵乘以一个`n*q`的矩阵,可以得到一个`m*q`的矩阵 1. 一个`1*1`的矩阵乘以一个`1*1`的矩阵得到一个`1*1`的矩阵 2. 一个`2*3`的矩阵乘以一个`2*3`的矩阵—非法操作 3. 一个`2*3`的矩阵乘以一个`3*2`的矩阵得到一个`2*2`的矩阵 4. 一个`3*1`的矩阵乘以一个`1*3`的矩阵得到一个`3*3`的矩阵 具体的乘法 `$ c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+...+a_{in}b_{nj} , 0\leqslant i \leqslant m,o\leqslant j\leqslant p $`  ### 矩阵乘法的意义 - 线性变换的本质 - 矩阵乘法揭示着线性变换的本质 - 点P和矩阵M的乘积P×M是点P的一种线性变换  ## 单位矩阵 `n*n`的矩阵,且主对角线为1,其他为0。记做`$ I_{n} $` 如:`$ I_{3}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} $` 如: `$ I_{2} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} $` ### 单位矩阵乘以矩阵 单位矩阵乘以任何矩阵都保持该矩阵的值不变 `$ I_{3}\times\begin{bmatrix}1& 2& 3 \\ 4& 5& 6 \\ 7& 8& 9 \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1& 2& 3 \\ 4& 5& 6 \\ 7& 8& 9 \\ \end{bmatrix} $` ## 交换律不成立 `$ AB \neq BA $` 如: `$ \begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix} \times \begin{bmatrix}0&0\\1&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix} $` 不等于 `$ \begin{bmatrix}0&0\\1&0\end{bmatrix} \times \begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix} $` ## 分配律 `$ A(B+C)=AB+AC $` `$ (B+C)D=BD+CD $` `A~m*n B~n*p C~n*p D~(p*q)` ## 结合律 `$ (AB)C=A(BC) $` `A~m*n B~n*p C~p*q` ## 矩阵的逆 用途:如果你平移30度,那么可以在乘以30度再乘以他的逆,就可以转回来 `$ AB=BA=I_{n} $` `$ A=B^{-1} $` `$ B=A^{-1} $` A是B 的逆,B是A的逆 求矩阵的逆 - `$ A^{-1}=\frac{1}{det(A)}adj(A) $` - `$ det(A) $` 是A的行列式(determinant) - `$ adj(A) $` 是A的伴随矩阵(adjugate matrix)